Question

【題目】各項為正數(shù)的數(shù)列如果滿足：存在實數(shù)，對任意正整數(shù)n，恒成立，且存在正整數(shù)n，使得或成立，則稱數(shù)列為“緊密數(shù)列”，k稱為“緊密數(shù)列”的“緊密度”．已知數(shù)列的各項為正數(shù)，前n項和為，且對任意正整數(shù)n，（A，B，C為常數(shù)）恒成立．

（1）當，，時，

①求數(shù)列的通項公式；

②證明數(shù)列是“緊密度”為3的“緊密數(shù)列”；

（2）當時，已知數(shù)列和數(shù)列都為“緊密數(shù)列”，“緊密度”分別為，，且，，求實數(shù)B的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①②見解析；（2）

【解析】

（1）利用公式得到是以首項為1，公差為2的等差數(shù)列，得到通項公式；計算恒成立，得到證明.

（2）根據(jù)遞推公式得到是以首項，公比的等比數(shù)列，考慮和兩種情況，計算得到，根據(jù)解得答案.

（1）①當，，時，，

當時，，

相減得：，

整理得：，因為，則，

即有，當時，，則．

則是以首項為1，公差為2的等差數(shù)列，則．

②，得隨著的增大而減小，

則對任意正整數(shù)n，恒成立，且存在，使得．

則數(shù)列是“緊密度”3的“緊密數(shù)列”．

（2）當時，，，相減得：，

若，則上式右端中，與矛盾；

若，則上式左端，與矛盾，則，．

則為常數(shù)，即是以首項，公比的等比數(shù)列．

因為數(shù)列為“緊密數(shù)列”，則， 所以，又．

當時，，對任意正整數(shù)恒成立，

且存在正整數(shù)，使得，所以數(shù)列的“緊密度”為，

又，即，

此時，隨的增大而減小，

所以，對任意正整數(shù)恒成立，

且當時，，所以數(shù)列的“緊密度”為，

則，與矛盾，不成立；

當時，，對任意正整數(shù)恒成立，

且存在正整數(shù)，使得，

則此時的“緊密度”為，即．

而隨著的增大而減小，

則對任意正整數(shù)恒成立，

且當時，，則的“緊密度”，即，

故，即，解得．

綜上所述：實數(shù)的取值范圍為．