Question

已知函數f（x）=ax²+（2a+1）x+1-3a，其中a≠0．
（1）若函數y=f（x）在（-∞，2]上單調遞增，求實數a的取值范圍；
（2）若關于x的方程f（lgx）=0的兩根之積x₁•x₂=10，求實數a的值．

Answer 1

考點：函數的零點,函數單調性的判斷與證明

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：（1）由函數f（x）=ax²+（2a+1）x+1-3a在（-∞，2]上單調遞增可知函數的圖象開口向下且對稱軸大于2；
（2）由關于x的方程f（lgx）=0的兩根之積x₁•x₂=10可得ax²+（2a+1）x+1-3a=0的兩根之和為1，從而求出a的值并驗證．

解答： 解：（1）∵函數f（x）=ax²+（2a+1）x+1-3a在（-∞，2]上單調遞增，
∴

a＜0 - 2a+1 2a ≥2

，
解得，-

1

6

≤a＜0；
（2）∵關于x的方程f（lgx）=0的兩根之積x₁•x₂=10，
∴l(xiāng)gx₁+lgx₂=lg10=1，
即ax²+（2a+1）x+1-3a=0的兩根之和為1，
則-

2a+1

a

=1，
解得，a=-

1

3

，
經驗證，成立．

點評：本題考查了二次函數的單調性與二次函數的圖象，同時考查了根與系數的關系及復合函數，屬于中檔題．