Question

已知函數(shù)f(x)=

lnx

x

，
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)a＞0，求函數(shù)f（x）在[2a，4a]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）先確定函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，注意極值點是否在定義域內(nèi)，分類討論，極值與區(qū)間端點函數(shù)值=比較大小．

解答：解：（1）定義域為（0，+∞），f′(x)=

1-lnx

x2

，令f′(x)=

1-lnx

x2

=0，則x=e，
當(dāng)x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，e）；單調(diào)減區(qū)間為（e，+∞）．
（2）由（1）知f（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減，所以，
當(dāng)4a≤e時，即0＜a≤

e

4

時，f（x）在[2a，4a]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（2a）=

ln(2a)

2a

；
當(dāng)2a≥e時，即a≥

e

2

f（x）在[2a，4a]上單調(diào)遞減，∴f（x）_min=f（4a）=

ln(4a)

4a

當(dāng)2a＜e＜4a時，即

e

4

＜a＜

e

2

時，f（x）在[2a，e]上單調(diào)遞增，f（x）在[e，4a]上單調(diào)遞減，
∴f（x）_min=min{f（2a），f（4a）}．下面比較f（2a），f（4a）的大小，
∵f(2a)-f(4a)=

lna

4a

，
∴若

e

4

＜a≤1，則f（a）-f（2a）≤0，此時f(x)min=f(2a)=

ln2a

2a

；
若1＜a＜

e

2

，則f（a）-f（2a）＞0，此時f(x)min=f(4a)=

ln4a

4a

；
綜上得：當(dāng)0＜a≤1時，f(x)min=f(2a)=

ln2a

2a

；
當(dāng)a＞1時，f(x)min=f(4a)=

ln4a

4a

．

點評：（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，本題對參數(shù)的討論是難點，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法．