Question

【題目】已知函數(shù)有兩個不同的極值點(diǎn)x1，x2，且x1＜x2．

（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）求證：x1x2＜a2．

Answer 1

【答案】（1）（e，+∞）；（2）見解析

【解析】

（1）先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)有兩個不同的零點(diǎn)，確定實(shí)數(shù)a所需滿足的條件，解得結(jié)果，（2）先根據(jù)極值點(diǎn)解得a，再代入化簡不等式x1x2＜a2，設(shè)，構(gòu)造一元函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，最后構(gòu)造單調(diào)性證明不等式.

（1）∵函數(shù)，∴x＞0，f′（x）=x-alnx，

∵函數(shù)有兩個不同的極值點(diǎn)x1，x2，且x1＜x2．

∴f′（x）=x-alnx=0有兩個不等根，

令g（x）=x-alnx，則=，（x＞0），

①當(dāng)a≤0時(shí)，得g′（x）＞0，則g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，

∴g（x）在（0，+∞）上不可能有兩個零點(diǎn)．

②當(dāng)a＞0時(shí)，由g′（x）＞0，解得x＞a，由g′（x）＜0，解得0＜x＜a，

則g（x）在（0，a）上單調(diào)遞減，在（a，+∞）上單調(diào)遞增，

要使函數(shù)g（x）有兩個零點(diǎn)，則g（a）=a-alna＜0，

解得a＞e，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（e，+∞）．

（2）由x1，x2是g（x）=x-alnx=0的兩個根，

則，兩式相減，得a（lnx2-lnx1）=x2-x1），

即a=，即證x1x2＜，

即證=，

由x1＜x2，得=t＞1，只需證ln2t-t-，

設(shè)g（t）=ln2t-t-，則g′（t）==，

令h（t）=2lnt-t+，∴h′（t）==-（）2＜0，

∴h（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，∴h（t）＜h（1）=0，

∴g′（t）＜0，即g（t）在（1，+∞）上是減函數(shù)，∴g（t）＜g（1）=0，

即ln2t＜t-2+在（1，+∞）上恒成立，∴x1x2＜a2．