Question

如圖，在平面直角坐標系xoy中，拋物線y=

1

18

x²-

4

9

x-10與x軸的交點為A，與y軸的交點為點B，過點B作x軸的平行線BC，交拋物線于點C，連接AC、現(xiàn)有兩動點P，Q分別從O，C兩點同時出發(fā)，點P以每秒4個單位的速度沿OA向終點A移動，點Q以每秒1個單位的速度沿CB向點B移動，點P停止運動時，點Q也同時停止運動．線段OC，PQ相交于點D，過點D作DE∥OA，交CA于點E，射線QE交x軸于點F．設(shè)動點P，Q移動的時間為t（單位：秒）
（1）求A，B，C三點的坐標和拋物線的頂點坐標；
（2）當t為何值時，四邊形PQCA為平行四邊形？請寫出計算過程；
（3）當t∈（0，

9

4

）時，△PQF的面積是否總為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由；
（4）當t為何值時，△PQF為等腰三角形？請寫出解答過程．

Answer 1

分析：（1）在y=

1

18

x²-

4

9

x-10中，令y=0可求A，令x=0，可求B；由BC∥x軸，可得點C的縱坐標為-10．由-10=

1

18

x²-

4

9

x-10可求C，由y=

1

18

x²-

4

9

x-10=

1

18

（x-4）²-

98

9

可求拋物線的頂點坐標
（2）若四邊形PQCA為平行四邊形，由于QC∥PA，故只要QC=PA即可求解．
（3）設(shè)點P運動了t秒，則OP=4t，QC=t，且0＜t＜4.5，說明點P在線段OA上，且不與點O，A重合．由QC∥OP，可得

QD

PD

=

CD

OD

=

QC

OP

=

t

4t

=

1

4

．同理QC∥AF，而

QC

AF

=

CE

AE

=

CD

OD

=

1

4

，即

t

AF

=

1

4

．代入三角形的面積公式S_△PQF=

1

2

PF•OB
（4）設(shè)點P運動了t秒，則P（4t，0），F(xiàn)（18+4t，0），Q（8-t，-10）t∈（0，4.5）．從而有PQ²=（4t-8+t）²+10²=（5t-8）²+100，F(xiàn)Q²=（18+4t-8+t）²+10²=（5t+10）²+100．分①若FP=FQ②若QP=QF，③若PQ=PF分別進行求解

解答：解：（1）在y=

1

18

x²-

4

9

x-10中，令y=0
得x²-8x-180=0．
解得x=-10或x=18，
∴A（18，0）．（1分）
在y=

1

18

x²-

4

9

x-10中，令x=0，得y=-10．
∴B（0，-10）．（2分）
∵BC∥x軸，
∴點C的縱坐標為-10．
由-10=

1

18

x²-

4

9

x-10得x=0或x=8．
∴C（8，-10）．（3分）
∵y=

1

18

x²-

4

9

x-10=

1

18

（x-4）²-

98

9

∴拋物線的頂點坐標為（4，-

98

9

）．（4分）
（2）若四邊形PQCA為平行四邊形，由于QC∥PA，故只要QC=PA即可．
∵QC=t，PA=18-4t，
∴t=18-4t．
解得t=

18

5

．（6分）
（3）設(shè)點P運動了t秒，則OP=4t，QC=t，且0＜t＜2.5，說明點P在線段OA上，且不與點O，A重合．
∵QC∥OP，
∴

QD

PD

=

CD

OD

=

QC

OP

=

t

4t

=

1

4

．
同理QC∥AF，
∴

QC

AF

=

CE

AE

=

CD

OD

=

1

4

，即

t

AF

=

1

4

．
∴AF=4t=OP．
∴PF=PA+AF=PA+OP=18．（8分）
∴S_△PQF=

1

2

PF•OB=

1

2

×18×10=90
∴△PQF的面積總為定值90．（9分）
（4）設(shè)點P運動了t秒，則P（4t，0），F(xiàn)（18+4t，0），Q（8-t，-10）t∈（0，4.5）．
∴PQ²=（4t-8+t）²+10²=（5t-8）²+100，F(xiàn)Q²=（18+4t-8+t）²+10²=（5t+10）²+100，PF=18
①若FP=FQ，則18²=（5t+10）²+100．
即25（t+2）²=224，（t+2）²=

224

25

．
∵0＜t＜4.5，
∴2＜t+2＜6.5，
∴t+2=

224 25

=

4 14

5

．
∴t=

4 14

5

-2．（11分）
②若QP=QF，則（5t-8）²+100=（5t+10）²+100．
即（5t-8）²=（5t+10）²，無0≤t≤4.5的t滿足．（12分）
③若PQ=PF，則（5t-8）²+100=18²．
即（5t-8）²=224，由于

224

≈15，又0≤5t≤22.5，
∴-8≤5t-8≤14.5，而14.5²=（

29

2

）²=

841

4

＜224．
故沒有0＜t＜4.5的t滿足此方程．（13分）
注：也可解出t=

8-4 14

5

＜0或t=

8+4 14

5

＞4.5均不合題意，
故無0≤t≤4.5的t滿足此方程．
綜上所述，當t=

4 14

5

-2時，△PQF為等腰三角形．（14分）

點評：本題主要考查了直線與拋物線的綜合考查，要求考試能夠利用基本知識進行一定的推理，要求考試具備一定的邏輯推理的能力，有很強的解決問題的能力．