如圖，橢圓C：＝1(a＞b＞0)的離心率為，其左焦點到點P(2，1)的距離為.不過原點O的直線l與C相交于A，B兩點，且線段AB被直線OP平分．

(1)求橢圓C的方程；
(2)求△ABP面積取最大值時直線l的方程．
（1）＝1（2）3x＋2y＋2－2＝0.
(1)設(shè)橢圓左焦點為F(－c，0)，則由題意得得
所以橢圓方程為＝1.
(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，線段AB的中點為M.當(dāng)直線AB與x軸垂直時，直線AB的方程為x＝0，與不過原點的條件不符，舍去．故可設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋m(m≠0)，由消去y，整理得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，①
則Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＞0，，
所以線段AB的中點為M.
因為M在直線OP：y＝x上，所以＝，得m＝0(舍去)或k＝－.
此時方程①為3x2－3mx＋m2－3＝0，則Δ＝3(12－m2)＞0，，所以AB＝·|x1－x2|＝·，設(shè)點P到直線AB的距離為d，則d＝
.設(shè)△ABP的面積為S，則S＝AB·d＝.其中m∈(－2，0)∪(0，2)．令u(m)＝(12－m2)(m－4)2，m∈[－2，2]，u′(m)＝－4(m－4)(m2－2m－6)＝－4(m－4)·(m－1－)(m－1＋)．所以當(dāng)且僅當(dāng)m＝1－時，u(m)取到最大值．故當(dāng)且僅當(dāng)m＝1－時，S取到最大值．綜上，所求直線l的方程為3x＋2y＋2－2＝0
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的離心率，長軸的左右端點分別為，．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)動直線與曲線有且只有一個公共點，且與直線相交于點.問在軸上是否存在定點，使得以為直徑的圓恒過定點，若存在，求出點坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知是橢圓E：的兩個焦點，拋物線的焦點為橢圓E的一個焦點，直線y＝上到焦點F1，F(xiàn)2距離之和最小的點P恰好在橢圓E上，

（1）求橢圓E的方程；
（2）如圖，過點的動直線交橢圓于A、B兩點，是否存在定點M，使以AB為直徑的圓恒過這個點？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中，點P到兩圓C1與C2的圓心的距離之和等于4，其中C1：，C2：. 設(shè)點P的軌跡為．
（1）求C的方程；
（2）設(shè)直線與C交于A，B兩點．問k為何值時？此時的值是多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，設(shè)E：＝1(a＞b＞0)的焦點為F1與F2，且P∈E，∠F1PF2＝2θ.求證：△PF1F2的面積S＝b2tanθ.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知定點A(－4，0)、B(4，0)，動點P與A、B連線的斜率之積為－.
(1)求點P的軌跡方程；
(2)設(shè)點P的軌跡與y軸負(fù)半軸交于點C.半徑為r的圓M的圓心M在線段AC的垂直平分線上，且在y軸右側(cè)，圓M被y軸截得的弦長為r.
(ⅰ)求圓M的方程；
(ⅱ)當(dāng)r變化時，是否存在定直線l與動圓M均相切？如果存在，求出定直線l的方程；如果不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知曲線E：ax2＋by2＝1(a>0，b>0)，經(jīng)過點M的直線l與曲線E交于點A、B，且＝－2.
(1)若點B的坐標(biāo)為(0，2)，求曲線E的方程；
(2)若a＝b＝1，求直線AB的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知△OFQ的面積為S，且·＝1.設(shè)||＝c(c≥2)，S＝c.若以O(shè)為中心，F(xiàn)為一個焦點的橢圓經(jīng)過點Q，當(dāng)||取最小值時，求橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知橢圓和雙曲線有相同的焦點，點為橢圓和雙曲線的一個交點，則的值為（     ）
A．16B．25C．9D．不為定值

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