Question

已知曲線(xiàn)E：ax²＋by²＝1(a>0，b>0)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)M的直線(xiàn)l與曲線(xiàn)E交于點(diǎn)A、B，且＝－2.
(1)若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，2)，求曲線(xiàn)E的方程；
(2)若a＝b＝1，求直線(xiàn)AB的方程．

Answer 1

（1）x²＋＝1（2）y＝x－1.

(1)設(shè)A(x₀，y₀)，由已知B(0，2)，M(，0)，所以＝，＝(x₀－，y₀)．
由于＝－2，所以(－，2)＝－2(x₀－，y₀)，所以即A(，－1)，將A、B點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線(xiàn)E的方程，得解得
所以曲線(xiàn)E的方程為x²＋＝1.
(2)當(dāng)a＝b＝1時(shí)，曲線(xiàn)E為圓x²＋y²＝1，設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．又＝－2，
所以＝－2(x₁－，y₁)，
即有＋＝1①，＋＝1②，由①×4－②，得(2x₁＋x₂)(2x₁－x₂)＝3，所以2x₁－x₂＝，解得x₁＝，x₂＝0.由x₁＝，得y₁＝±.當(dāng)A時(shí)，B(0，－1)，此時(shí)k_AB＝－，直線(xiàn)AB的方程為y＝－x＋1；
當(dāng)A時(shí)，B(0，1)，此時(shí)k_AB＝，直線(xiàn)AB的方程為y＝x－1.