Question

（本小題共13分）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，為橢圓的上頂點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且△是等腰直角三角形．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過點(diǎn)分別作直線，交橢圓于，兩點(diǎn)，設(shè)兩直線的斜率分別為，，且，證明：直線過定點(diǎn)（）．

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）由△是等腰直角三角形，得，，

故橢圓方程為．    　　　　                …………5分

（Ⅱ）若直線的斜率存在，設(shè)方程為，依題意．

設(shè)，，

由  得 ．      ………7分

則．                       

由已知，

所以，

即．                                ………10分

所以，整理得 ．

故直線的方程為，即（）．

所以直線過定點(diǎn)（）．                            ………12分

若直線的斜率不存在，設(shè)方程為，

設(shè)，，

由已知，

得．此時(shí)方程為，顯然過點(diǎn)（）．

綜上，直線過定點(diǎn)（）．                    ………13分

【解析】本題考查橢圓的方程和直線與橢圓的相交問題，考查學(xué)生利用待定系數(shù)法和解析法的解題能力. 待定系數(shù)法：如果題目給出是何曲線，可根據(jù)題目條件，恰當(dāng)?shù)脑O(shè)出曲線方程，然后借助條件進(jìn)一步確定求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程應(yīng)從“定形”“定式”“定量”三個(gè)方面去思考�！岸ㄐ巍笔侵笇ΨQ中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在哪條對稱軸上；“定式”是指根據(jù)“形”設(shè)出相應(yīng)的橢圓方程的具體形式；“定量”是指利用定義法或待定系數(shù)法確定的值.本題第一問利用橢圓的離心率和直線與橢圓相切判別式為0得到兩個(gè)等式求解的值；關(guān)于直線與圓錐曲線位置關(guān)系的存在性問題，一般先假設(shè)存在滿足題意的元素，經(jīng)過推理論證，如果得到可以成立的結(jié)果，就可以作出存在的結(jié)論；若得到與已知條件、定義、公理、定理、性質(zhì)相矛盾的量，則說明假設(shè)不成立.本題的第二問就是利用這個(gè)解題思路，借助韋達(dá)定理和距離公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化和探索.