Question

【題目】在如圖所示的直三棱柱中，，分別是，的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）若為正三角形，且，為上的一點(diǎn)，，求直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角的正切值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）取中點(diǎn)，連接，.，推導(dǎo)出，從而平面.

；再推導(dǎo)出平面，進(jìn)而平面平面.由此能證明平面.（Ⅱ）推導(dǎo)出平面平面.平面取的中點(diǎn)，連接，，可得，故平面，又,可得,所以即為直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角.，由此能求出直線(xiàn)與平面所成角的正切值.

試題解析：（Ⅰ）取中點(diǎn)，連接，.

在中，因?yàn)?/span>，分別為，的中點(diǎn)，所以,平面，平面，所以平面.

在矩形中，因?yàn)?/span>,分別為,的中點(diǎn)，

所以，平面，平面,所以平面.

因?yàn)?/span>，所以平面平面.

因?yàn)?/span>平面，故 平面；

（Ⅱ）因?yàn)槿�棱�?/span>為直三棱柱，所以平面平面.

連接，因?yàn)?/span>為正三角形，為中點(diǎn)，所以,所以平面，

取的中點(diǎn)，連接，，可得，故平面，

又因?yàn)?/span>,所以,

所以即為直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角.

設(shè),在中，，.

所以.