Question

給定橢圓C：，稱圓心在原點(diǎn)O、半徑為的圓是橢圓C的“伴橢圓” ，若橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為,其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到距離為；
（1）、求橢圓C的方程及其“伴橢圓”的方程；
（2）、若傾斜角為的直線與橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn)，且與橢圓C的“伴橢圓”相交于M、N兩點(diǎn)，求弦MN的長(zhǎng)。
（3）、若點(diǎn)P是橢圓C“伴橢圓”上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線，使得與橢圓C都只有一個(gè)公共點(diǎn)，求證：。

Answer 1

解：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823172349188445.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以……………………………………………2分
所以橢圓的方程為，伴隨圓的方程為.………………4分
（2）設(shè)直線的方程，由得 
由得…………………………6分
圓心到直線的距離為 ，所以………………………………8分
（3）①、當(dāng)中有一條無斜率時(shí)，不妨設(shè)無斜率，
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823172349422190.gif" style="vertical-align:middle;" />與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，則其方程為或，
當(dāng)方程為時(shí)，此時(shí)與伴隨圓交于點(diǎn)
此時(shí)經(jīng)過點(diǎn)（或且與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是(或，
即為(或，顯然直線垂直；
同理可證方程為時(shí)，直線垂直.…………………………10分
②、當(dāng)都有斜率時(shí)，設(shè)點(diǎn)其中，
設(shè)經(jīng)過點(diǎn)與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線為，
由，消去得到，
即，……………………12分
，
經(jīng)過化簡(jiǎn)得到：，
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823172349983407.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以有，…………………14分
設(shè)的斜率分別為，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823172349406222.gif" style="vertical-align:middle;" />與橢圓都只有一個(gè)公共點(diǎn)，
所以滿足方程，
因而，即垂直.……………………………………………………16分

略