Question

已知sinθ，cosθ是關(guān)于x的方程x²-ax+a=0（a∈R）的兩個(gè)根．
（1）求cos³（

π

2

-θ）+sin³（

π

2

-θ）的值；
（2）求tan（π-θ）-

1

tanθ

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）依題意，由△≥0，可求得a的取值范圍，利用韋達(dá)定理與三角函數(shù)間的關(guān)系可求得a=sinθ+cosθ=sinθcosθ=1-

2

，從而可求cos³（

π

2

-θ）+sin³（

π

2

-θ）的值；
（2）利用誘導(dǎo)公式，將所求關(guān)系式中的“切”化“弦”，通分整理，將sinθ+cosθ=sinθcosθ=1-

2

代入可得答案．

解答： 解：依題意，△=（-a）²-4a≥0，解得a≥4或a≤0，
又

sinθ+cosθ=a sinθ•cosθ=a

，
所以（sinθ+cosθ）²=1+2sinθcosθ，即a²-2a-1=0，解得a=1-

2

或a=1+

2

（舍去），
因此sinθ+cosθ=sinθcosθ=1-

2

．
（1）cos³（

π

2

-θ）+sin³（

π

2

-θ）
=sin³θ+cos³θ=（sinθ+cosθ）（1-sinθcosθ）
=（1-

2

）[1-（1-

2

）]=

2

-2．
（2）tan（π-θ）-

1

tanθ

=-

sinθ

cosθ

-

cosθ

sinθ

=-

sin2θ+cos2θ

sinθcosθ

=-

1

1- 2

=

2

+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，考查韋達(dá)定理的應(yīng)用，求得sinθ+cosθ=sinθcosθ=1-

2

是關(guān)鍵，屬于中檔題．