Question

已知圓C：（x-1）²+（y-2）²=25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0．
（1）判斷直線l與圓C的位置關(guān)系；
（2）當(dāng)直線l與圓C相交時(shí)，求直線l被圓C截得的最短弦長(zhǎng)及此時(shí)直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：（1）求出直線經(jīng)過的定點(diǎn)，然后利用點(diǎn)到圓心的距離與圓的半徑比較，即可判斷直線l與圓C的位置關(guān)系；
（2）當(dāng)直線l與圓C相交時(shí)，當(dāng)直線l過定點(diǎn)P且與PC垂直時(shí)，直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)最短，求出斜率即可求解直線方程．

解答： 解：（1）∵直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，∴

2x+y-7=0 x+7-4=0

，
解得

x=3 y=1

，
∴直線l過定點(diǎn)P（3，1），且P與圓心C（1，2）的距離|PC|=

5

＜5，
∴直線l一定過圓內(nèi)定點(diǎn)P，∴直線l與圓C一定相交．…（5分）
（2）由平面幾何知識(shí)可知，當(dāng)直線l過定點(diǎn)P且與PC垂直時(shí)，直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)最短，
而k_PC=-

1

2

，∴此時(shí)直線l的方程為y-1=2（x-3）．
故弦長(zhǎng)最短時(shí)，直線l的方程為2x-y-5=0．
最短弦長(zhǎng)為d=2

25-5

=4

5

．…（10分）
說明：各題如有其它解法可參照給分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線系方程與圓的位置關(guān)系，直線方程的求法，考查計(jì)算能力．