Question

【題目】已知函數(shù)，．

（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；

（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；

（3）已知，且任意有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）分類討論，詳見解析；（3）.

【解析】

（1）當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＝x3+3x﹣3，f（2）＝11．由f'（x）＝3x2+3，得f'（2）＝15．由此利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義能求出y＝f（x）在x＝2處的切線方程；

（2）當(dāng)a≤﹣1時(shí)，得f（x）＝x3+3x﹣3a，由f'（x）＝3x2+3＞0，得到f（x）min＝f（﹣1）＝﹣4﹣3a．當(dāng)a≥1時(shí)，得f（x）＝x3﹣3x+3a，由f'（x）＝3x2﹣3≤0，得到f（x）min＝f（1）＝﹣2+3a．當(dāng)﹣1＜a＜1時(shí)，f（x），由此能求出函數(shù)f（x）的最小值；

（3）當(dāng)a＞0，且任意x≥1有f（x+a）﹣f（1+a）≥15a2lnx，即對(duì)任意x≥1有（x+a）3+3x﹣15a2lnx﹣（a+1）3﹣3≥0．設(shè)g（x）＝（x+a）3+3x﹣15a2lnx﹣（a+1）3﹣3，則g（1）＝0，g'（x）＝3（x+a）2+3．設(shè)h（x）＝g'（x）＝3（x+a）2+3，則h'（x）＝6（x+a）0，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出結(jié)果．

解：（1）當(dāng)時(shí)，，．由，得．

所以在處的切線方程為即．

（2）①當(dāng)時(shí)，得，因?yàn)?/span>，

所以在單調(diào)遞增，所以．

②當(dāng)時(shí)，得，因?yàn)?/span>，

所以在單調(diào)遞減，所以．

③當(dāng)時(shí)，

由①②知：函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以，

綜上，當(dāng)，；

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，．

（3）當(dāng)，且任意有，

即對(duì)任意有．

設(shè)，

則，．

設(shè)，

因?yàn)?/span>，，所以，所以在單調(diào)遞增，

所以，即，

①當(dāng)即時(shí)，所以恒成立，

所以在單調(diào)遞增，此時(shí)，滿足題意．

②當(dāng)即時(shí)，

因?yàn)?/span>，且在單調(diào)遞增，

所以存在唯一的，使得，

因此當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)；

所以在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增．

所以，不滿足題意．

綜上，．