Processing math: 100%
12.已知函數(shù)f(x)=axx2+b(a>0,b>1),滿足:f(1)=1,且f(x)在R上有最大值324
(I)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)當x∈[1,2]時,不等式f(x)≤3mx2+2|xm|恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.

分析 (I)根據(jù)條件建立方程和不等式關系即可求f(x)的解析式;
(Ⅱ)求出f(x)的解析式,將不等式進行轉化,利用參數(shù)分離法進行求解即可.

解答 解:(I)∵f(x)=axx2+b(a>0,b>1),滿足:f(1)=1,
∴f(1)=a1+b=1,即a=1+b,①
f(x)=ax+xa2xx=a2,
∵f(x)在R上有最大值324
a2=324.即2a=32b ②,
由①②得a=3,b=2,
即f(x)的解析式f(x)=3xx2+2
(Ⅱ)當x=1時,不等式也成立,即1≤3m3|1m|=m|m1|
即m≥|m-1|,平方得m2≥m2-2m+1,得m≥12,
當x=2時,不等式也成立,即1≤3m6|6m|,
即m≥2|2-m|,
平方得3m2-16m+16≤0,
43≤m≤4,.
由f(x)≤3mx2+2|xm|3xx2+23mx2+2|xm|,
即x≤m|xm|,則|x-m|≤mx,即-mx≤x-m≤mx,在x∈[1,2]上恒成立.
①當x=1時,不等式成立,當x≠1時,m≤x2x1,則m≤4
②對于m≥x2x+1,x∈(1,2]上恒成立,等價為m≥(x2x+1max,
設t=x+1,則x=t-1,則t∈(2,3],
x2x+1=t12t=t+1t-2,在(2,3]上遞增,
則(x2x+1max=43
則m≥43
綜上實數(shù)m的取值范圍是43≤m≤4.

點評 本題主要考查不等式恒成立問題,根據(jù)條件建立方程關系求出函數(shù)的解析式,利用參數(shù)分離法轉化求函數(shù)的最值是解決本題的關鍵.綜合性較強.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

2.設F是拋物線G:x2=4y的焦點.
(1)過點P(0,-4)作拋物線G的切線,求切線方程;
(2)設A,B為拋物線上異于原點的兩點,且滿足FA⊥FB,延長AF,BF分別交拋物線G于點C,D,求四邊形ABCD面積的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

3.已知函數(shù)f(x)=3sin(ωx+φ)+cosωxcosφ-sinωxsinφ(ω>0,0<φ<π2)是偶函數(shù),相鄰兩個零點間距離為1.(1)求f(x)的單調遞增區(qū)間;
(2)已知△ABC為銳角三角形,角A、B、C對邊分別為a、b、c,若f(Aπ)=1,a=7,b=8,求c.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

20.已知一個四棱錐的三視圖如圖所示,則此四棱錐的體積為53

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

7.函數(shù)f(x)=lnx,g(x)是f(x)的反函數(shù).
(I)求證:當x≥0時,f(x+1)≥-12x2+x;
(Ⅱ)若g(x)+g(-x)≤2g(mx2)對任意x∈R恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

17.設某銀行的總存款與銀行付給存戶的利率的平方成正比,若銀行以10%的年利率把總存款的90%貸出,同時能獲得最大利潤,需要支付給存戶的年利率應為6%.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

4.在△ABC中,求證:S△ABC=a2sinBsinC2sinB+C

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

1.在區(qū)間[0,2]上任取兩個實數(shù)a,b,則函數(shù)f(x)=x2+ax-14b2+1在區(qū)間(-1,1)沒有零點的概率是( �。�
A.π8B.4π4C.4π8D.π4

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

2.化簡:(AD+MB)+(BC+CM)=AD

查看答案和解析>>

同步練習冊答案