【題目】已知函數,求證:
(1)在區(qū)間存在唯一極大值點;
(2)在上有且僅有2個零點.
【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析
【解析】
(1)首先求出函數的導數,設,對求導,說明其單調性,再根據零點存在性定理可得在有唯一零點,從而得證;
(2)結合(1)的單調性利用零點存在性定理證明上有兩個零點,當時無零點.
解:(1)因為,所以,
設,則,則當時,,
所以即在單調遞減,
又,,且圖像是不間斷的,
由零點存在性定理可得在有唯一零點,設為.
則當時,;當時,.
所以在單調遞增,在單調遞減,
故在存在唯一極大值點.
(2)因為,所以,
設,則,則當時,,
所以即在單調遞減,
由(1)知,在單調遞增,在單調遞減.
又,,所以,
又的圖像是不間斷的,所以存在,使得;
又當時,,所以在遞減,
因,又,又的圖像是不間斷的,
所以存在,使得;
當時,,,所以,從而在沒有零點.
綜上,有且僅有2個零點.
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【題目】下列關于簡單幾何體的說法中正確的是( )
①有兩個面互相平行,其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱;
②有一個面是多邊形,其余各面都是三角形的幾何體是棱錐;
③有兩個底面平行且相似,其余各面都是梯形的多面體是棱臺;
④空間中到定點的距離等于定長的所有點的集合是球面.
A.①②B.③④C.④D.②④
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【題目】圓周上有800個點,依順時針方向標號為,它們將圓周分成800個間隙.今選定某一點染成紅色,然后按如下規(guī)則,逐次染紅其余的一些點:如果第號點已被染紅,則可按順時針方向轉過個間隙,再將所到達的那個端點染紅.如此繼續(xù)下去.試問圓周上最多可得到多少個紅點?證明你的結論.
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【題目】某大學餐飲中心為了解新生的飲食習慣,在全校一年級學生中進行了抽樣調查,調查結果如下表所示:
喜歡甜品 | 不喜歡甜品 | 合計 | |
南方學生 | 60 | 20 | 80 |
北方學生 | 10 | 10 | 20 |
合計 | 70 | 30 | 100 |
(1)根據表中數據,問是否有95%的把握認為“南方學生和北方學生在選用甜品的飲食習慣方面有差異”;
(2)已知在被調查的北方學生中有5名數學系的學生,其中2名喜歡甜品.現在從這5名學生中隨機抽取3人,求至多有1人喜歡甜品的概率.
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,已知角α的頂點與原點O重合,始邊與x軸的非負半軸重合,它的終邊上有一點P的坐標是(3a,a),其中a≠0.
(1)求cos(α)的值;
(2)若tan(2α+β)=1,求tanβ的值.
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【題目】給定兩個七棱錐,它們有公共面的底面,頂點、在底面的兩則.現將下述線段中的每一條染紅、藍兩色之一:,底面上的所有對角線和所有的側棱.求證:圖中心存在一個同色三角形.
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【題目】邊長為1的菱形的兩對角線交于,過作A2B2∥A1B1交于連結交于,過作A3B3∥A1B1交于,…,這樣作下去得以為原點,所在直線為軸,建立平面直角坐標系,設以為半徑,圓心在,軸上的一列圓依次相外切(即與外切,),若圓T1與拋物線相切.求證:所有的圓都與拋物線相切.
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