Question

【題目】圓周上有800個點，依順時針方向標號為，它們將圓周分成800個間隙.今選定某一點染成紅色，然后按如下規(guī)則，逐次染紅其余的一些點：如果第號點已被染紅，則可按順時針方向轉(zhuǎn)過個間隙，再將所到達的那個端點染紅.如此繼續(xù)下去.試問圓周上最多可得到多少個紅點？證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】25

【解析】

一般地，對一個有個點的圓周，我們把按題設(shè)規(guī)則所能染紅的點數(shù)的最大值記為.

若圓周上有個點，第一個被染紅的點的標號為.

（1）若是一個偶數(shù)，那么，所有染紅的點的標號均為偶數(shù)，其過程相當于在一個有個點的圓周上，第一個染紅的點的標號為的染點的過程，所以，兩圓周上所染紅的點數(shù)相同；

（2）若，其所染紅的第2個點的標號為，是偶數(shù)，因此，其染紅的點數(shù)比有個點的圓周上第一個染紅的點的標號為的染點的過程所得的紅點數(shù)多1.

綜上所述，得.

由此可得

.

對有25個點的圓周，不妨從1號點開始染紅，則可順次得標號為1，2，4，8，16，7，14，3，6，12，24，23，21，17，9，18，11，22，19，13的20個紅點，故有.

反之，顯然若有 個紅點的標號是5的倍數(shù)，則全部紅點的標號均為5的倍數(shù).此時，紅點數(shù)小于或等于5.所以，達到最大值的染紅過程不含標號為5的倍數(shù)的點.從而，有，即.

因此，.