【題目】如圖,在棱長為2的正方體中,M是線段AB上的動點.
證明:平面;
若點M是AB中點,求二面角的余弦值;
判斷點M到平面的距離是否為定值?若是,求出定值;若不是,請說明理由.
【答案】(1)證明見解析;(2);(3)點到平面的距離為定值.
【解析】
(1)利用正方體的性質(zhì)得,由線面平行的判定定理證明即可.(2)建立空間直角坐標(biāo)系求出平面和平面的法向量,利用向量的夾角公式求出二面角的余弦值,即可得解.(3)由(1)得點到平面的距離等于上任意一點到平面的距離,結(jié)合(2)和點到面的距離公式得點到平面的距離即可.
(1)證明:因為在正方體中,,平面,平面,平面
(2)在正方體中,,,兩兩互相垂直,則建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,則,,,,所以,,,,設(shè)向量,分別為平面和平面的法向量,由
取,則,,.
同理
取,則,,.
,
又二面角的平面角為銳角,
二面角的余弦值為
(3)由(1)知平面.點到平面的距離等于上任意一點到平面的距離,取點為,結(jié)和(2)和點到平面的距離.點到平面的距離定值為
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,已知圓A:(x+3)2+y2=100,圓A內(nèi)一定點B(3,0),圓P過B且與圓A內(nèi)切,則圓心P的軌跡方程為_________.
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【題目】已知橢圓的離心率,左、右焦點分別為,點,點在線段的中垂線上.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線與橢圓交于兩點,直線與的傾斜角分別為,且,求證:直線過定點,并求該定點的坐標(biāo).
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【題目】2017年“十一”期間,高速公路車輛較多.某調(diào)查公司在一服務(wù)區(qū)從七座以下小型汽車中按進服務(wù)區(qū)的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進行詢問調(diào)查,將他們在某段高速公路的車速()分成六段: , , , , , ,后得到如圖的頻率分布直方圖.
(1)求這40輛小型車輛車速的眾數(shù)和中位數(shù)的估計值;
(2)若從車速在的車輛中任抽取2輛,求車速在的車輛恰有一輛的概率.
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【題目】已知函數(shù),其中.
若是函數(shù)的極值點,求實數(shù)a的值;
若對任意的為自然對數(shù)的底數(shù),都有成立,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】如圖,一輛汽車從A市出發(fā)沿海岸一條筆直公路以的速度向東勻速行駛,汽車開動時,在A市南偏東方向距A市500km且與海岸距離為300km的海上B處有一艘快艇與汽車同時出發(fā),要把一份文件交給這輛汽車的司機.
(1)快艇至少以多大的速度行駛才能把文件送到司機手中?
(2)求快艇以最小速度行駛時的行駛方向與所成角的大。
(3)若快艇每小時最快行駛,快艇應(yīng)如何行駛才能盡快把文件交到司機手中?最快需多長時間?
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【題目】銷售甲、乙兩種商品所得利潤分別是萬元,它們與投入資金 萬元的關(guān)系分別為,,(其中都為常數(shù)),函數(shù)對應(yīng)的曲線、如圖所示.
(1)求函數(shù)與的解析式;
(2)若該商場一共投資4萬元經(jīng)銷甲、乙兩種商品,求該商場所獲利潤的最大值.
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