Question

【題目】已知橢圓的離心率，左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)，點(diǎn)在線段的中垂線上．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，直線與的傾斜角分別為，且，求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）（2）直線過(guò)定點(diǎn)，該定點(diǎn)的坐標(biāo)為．

【解析】試題分析：（1）由已知得， ，解方程即可得解；

（2）設(shè)直線MN方程為y=kx+m，與橢圓聯(lián)立得．設(shè)， ，，由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能求出直線MN的方程為y=k（x-2），從而能證明直線MN過(guò)定點(diǎn)（2，0）．

試題解析：

（1）由橢圓的離心率得，其中，

∴，∴ 解得， ， ，

∴橢圓的方程為．

（2）由題意，知直線存在斜率，設(shè)其方程為．由

消去，得．設(shè)， ，

則，

即， ， .

且

由已知，得,即．

化簡(jiǎn)，得

∴整理得．

∴直線的方程為，因此直線過(guò)定點(diǎn)，該定點(diǎn)的坐標(biāo)為．