Question

以點(diǎn)A（4，-3）為直角頂點(diǎn)的Rt△OAB中，|AB|=2|OA|且點(diǎn)B縱坐標(biāo)大于0．
（1）求向量

.

AB

的坐標(biāo)；
（2）求圓x²-6x+y²+2y=0關(guān)于直線OB對(duì)稱的圓的方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出

.

AB

=（μ，u），利用垂直和|AB|=2|OA|，B縱坐標(biāo)大于0，求得μ，u．
（2）先求圓心和半徑，再求對(duì)稱圓心坐標(biāo)，可得對(duì)稱圓的方程．

解答：解：（1）設(shè)

.

AB

=（μ，u），則由

. |AB |=2 . OA . AB • . OA =0

得

μ=6 υ=8

或

μ=-6 υ=-8

由

.

OB

=

.

OA

+

.

AB

=（μ+4，u-3），且u-3＞0
∴u=8

.

AB

=（6，8）．
（2）圓x²-6x+y²+2y=0的標(biāo)準(zhǔn)方程是（x-3）²+（y+1）²=10
∴圓心為（3，-1），半徑為

10

由（1）知B（10，5），直線OB的方程為y=

1

2

x
設(shè)（3，-1）關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)為（x，y）則

x+3 2 -2 y-1 2 =0 y+1 x-3 =-2

∴

x=1 y=3

∴所求圓方程為（x-1）²+（y-3）²=10．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的數(shù)量積，垂直的條件，點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，是中檔題，近年高考熱點(diǎn)．