已知過點P（1，-2），傾斜角為
π
6
的直線l和拋物線x2=y+m       
（1）m取何值時，直線l和拋物線交于兩點？
（2）m取何值時，直線l被拋物線截下的線段長為
4
3
-2
3
．
考點：直線與圓錐曲線的關系
專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程
分析：（1）由點斜式方程得到直線方程，聯(lián)立拋物線方程，消去y，得到二次方程，由判別式大于0，解出即可；
（2）由（1）運用韋達定理，以及弦長公式，列方程，解出即可．
解答： 解：（1）由已知可得直線l：y+2=
3
3
（x-1），
聯(lián)立
y=
3
3
(x-1)-2
x2=y+m
得x2-
3
3
x+
3
3
+2-m=0，
因為有兩個交點，所以△=
1
3
-4（
3
3
+2-m）＞0，
解得m＞
23+4
3
12
；             
（2）設直線l交拋物線于A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點，
則x1+x2=
3
3
，x1x2=
3
3
+2-m，
則|AB|=
(1+k2)((x1+x2)2-4x1x2
=
4
3
(
1
3
-4(
3
3
+2-m))
=
4
3
-2
3
，
解得，m=
3
3
+11
6
．
點評：本題考查拋物線的方程和運用，考查聯(lián)立直線方程和拋物線方程，消去未知數(shù)，運用韋達定理和弦長公式解題，考查運算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設全集U=R，集合A={x|-1＜x＜5}，集合B={x|2＜x＜7}，求
（1）A∩B；
（2）（∁UA）∪B；
（3）（∁UA）∩（∁UB）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

一個幾何體的三視圖如圖所示（單位：m），則該幾何體的體積為（　�。�
A、2
3
m3
B、4
3
m3
C、
10
3
3
m3
D、
20
3
3
m3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）=x3-x2+a在[-1，1]的最小值是1，則實數(shù)a，b的值是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=
-x2-2x+3，x≤0
|2-lnx|，x＞0
，直線y=m與函數(shù)f（x）的圖象相交于四個不同的點，從小到大，交點橫坐標依次記為a，b，c，d，有以下四個結論
①（1）．m∈[3，4）
②abcd∈[0，e4）
③a+b+c+d∈[e5+
1
e
-2，e6+
1
e2
-2)
④若關于x的方程f（x）+x=m恰有三個不同實根，則m取值唯一．
則其中正確的結論是（　�。�
A、①②③B、①②④
C、①③④D、②③④

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD=DC=1，AB=3，動點P在以點C為圓心，且與直線BD相切的圓內運動，設
AP
=α
AD
+β
AB
（α，β∈R），則α+β的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

球的半徑為2，它的內接正方體的表面積為（　�。�
A、8B、16C、32D、64

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若命題“?x∈R，x2+2mx+m≤0”是假命題，則實數(shù)m的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

2014年9月初，臺灣曝“地溝油”大案，味全、85度C和美心集團等知名企業(yè)紛紛中招．內陸某食品企業(yè)在政府部門的支持下，進行技術攻關，新上了一種從“食品殘渣”中提煉出生物柴油的項目，經測算，該項目處理成本y（元）與月處理量x（噸）之間的函數(shù)可以近似的表示為：y=
1
3
x3-80x2+5040x，x∈[120，144)
1
2
x2-200x+80000，x∈[144，500)
，且每處理一噸“食品殘渣”，可得到能利用的生物柴油價值為200元，若該項目不獲利，政府將補貼．
（1）當x∈[200，300）時，判斷該項目能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則政府每月至少需要補貼多少元才能使該項目不虧損；
（2）該項目每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？

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