Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n=

2 S 2 n

2Sn-1

（n≥2）
（Ⅰ）求證：數(shù)列{

1

Sn

}為等差數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）當n≥2時，若b_n=

3-2n

2n+3

a_n，求b₂+…+b_n的值．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件得S_n-S_n-1=-2S_nS_n-1，從而得到

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，且

1

S1

=1，由此能證明{

1

Sn

}為以1為首項，2為公差的等差數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得Sn=

1

2n-1

，由此能求出an=

-2 (2n-1)(2n-3) ，n≥2 1，n=1

．
（Ⅲ）由已知條件得bn=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+3

)，由此能求出b₂+…+b_n的值．

解答： （Ⅰ）證明：當n≥2時，an=Sn-Sn-1=

2 S 2 n

2Sn-1

，
整理得S_n-S_n-1=-2S_nS_n-1，
故

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，且

1

S1

=1，…（2分）
所以{

1

Sn

}為以1為首項，2為公差的等差數(shù)列．…（4分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，

1

Sn

=1+2(n-1)=2n-1，
所以Sn=

1

2n-1

當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=

1

2n-1

-

1

2n-3

，…（6分）
當n=1時，a₁=1≠

1

2×1-1

-

1

2×1-3

則an=

-2 (2n-1)(2n-3) ，n≥2 1，n=1

…8分
（Ⅲ）解：當n≥2時，bn=

3-2n

2n+3

an=

3-2n

2n+3

(-2)

(2n-1)(2n-3)

=

2

(2n-1)(2n+3)

，
所以bn=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+3

)…（10分）
則b₂+b₃+…+b_n
=

1

2

(

1

3

-

1

7

+

1

5

-

1

9

+

1

7

-

1

11

+…+

1

2n-3

-

1

2n+1

+

1

2n-1

-

1

2n+3

)
=

1

2

(

1

3

+

1

5

-

1

2n+1

-

1

2n+3

)
=

4

15

-

2n+2

(2n+1)(2n+3)

（n≥2）…（12分）

點評：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意裂項法的合理運用．