已知函數(shù)f(x)=aex+
1
2
x2+bx,曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線為y-1=0.
(1)求f(x)的解析式及單調(diào)區(qū)間;
(2)若m為整數(shù),且當(dāng)x>ln2時,(x-m)(f′(x)-x-1)+2x+1>0,求m的最大值.
考點:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求f(x)的解析式及單調(diào)區(qū)間;
(2)求函數(shù)的表達(dá)式,姜不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題,解不等式即可得到結(jié)論.
解答: 解:(1)函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=aex+x+b,
∵直線y-1=0的斜率為0,且過點(0,1),
f(0)=1
f′(0)=0
,即
a=1
a+b=0
,解得a=1,b=-1.
∴f(x)的解析式為f(x)=ex+
1
2
x2-x,
∵f′(x)=ex+x-1,
∴當(dāng)x<0時,f′(x)=ex+x-1<0,此時函數(shù)單調(diào)遞減,
當(dāng)x>0時,f′(x)=ex+x-1>0,此時函數(shù)單調(diào)遞增,
即函數(shù)的增區(qū)間為(0,+∞),減區(qū)間為(-∞,0).
(2)∵(x-m)(f′(x)-x-1)+2x+1=(x-m)(ex-2)+2x+1,
故當(dāng)x>ln2時,(x-m)(f′(x)-x-1)+2x+1>0,等價為,m
2x+1
ex-2
+x
,(x>ln2),①,
令g(x)=
2x+1
ex-2
+x
,(x>ln2),
則g′(x)=
-2xex+ex-4
(ex-2)2
+1
=
ex(ex-2x-3)
(ex-2)2

令h(x)=ex-2x-3,則h′(x)=ex-2,
∵x>ln2,∴h′(x)=ex-2>0,
即h(x)在(ln2,+∞)上存在唯一的零點,
故g′(x)在(ln2,+∞)上存在唯一的零點,
設(shè)此零點為a,則a∈(1,2),
當(dāng)x∈(ln2,a)時,g′(x)<0,
當(dāng)x∈(a,+∞)時,g′(x)>0,
故g(x)在(ln2,+∞)上的最小值為g(a),
由g′(a)=0,可得ea=2a+3,
∴g(a)=a+1∈(2,3),
由于①等價于m<g(a),故m的最大值是2.
點評:本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系,進(jìn)行求導(dǎo)是解決本題的關(guān)鍵.綜合性較強(qiáng),難度較大.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在等差數(shù)列{an}中,若a1+a13=12,則a7為( 。
A、6B、7C、8D、9

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

甲乙丙三位同學(xué)獨立的解決同一個問題,已知三位同學(xué)能夠正確解決這個問題的概率分別為
1
2
、
1
3
、
1
4
,則有人能夠解決這個問題的概率為( 。
A、
13
12
B、
3
4
C、
1
4
D、
1
24

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

平面向量
a
b
的夾角為60°,
a
=(1,0),|
b
|=1,則
a
•(
a
-3
b
)等于( 。
A、
1
2
B、-
1
2
C、
5
2
D、1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an=
2
S
2
n
2Sn-1
(n≥2)
(Ⅰ)求證:數(shù)列{
1
Sn
}為等差數(shù)列;
(Ⅱ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅲ)當(dāng)n≥2時,若bn=
3-2n
2n+3
an,求b2+…+bn的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

為弘揚(yáng)“樂于助人,與人為善”中華傳統(tǒng)美德,某社區(qū)組織了一個40人的社區(qū)志愿者服務(wù)團(tuán)隊,他們在一個月內(nèi)參加社區(qū)公益活動的次數(shù)統(tǒng)計如表所示:
活動次數(shù)123
參加人數(shù)51520
(1)從該服務(wù)團(tuán)隊中任意選3名志愿者,求這3名志愿者中至少有兩名志愿者參加活動次數(shù)簽好相等的概率;
(2)從該服務(wù)團(tuán)隊中任選兩名志愿者,用X表示這兩人參加活動次數(shù)只差的絕對值,求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,AA1、BB1為圓柱OO1的母線,BC是底面圓O的直徑,D、E分別是AA1、CB1的中點,AB=AC.
(Ⅰ)證明:DE∥平面ABC;
(Ⅱ)證明:平面B1DC⊥平面CBB1
(Ⅲ)若BB1=BC,求二面角A1-B1C-B的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在“十一”期間,某電器專賣店設(shè)計了一項家用小型空調(diào)有獎促銷活動,每購買一臺空調(diào),即可通過電腦產(chǎn)生一組3個數(shù)的隨機(jī)數(shù)組,并根據(jù)下表兌獎:
獎次一等獎二等獎三等獎
隨機(jī)數(shù)組特征3個8或3個1只有2個8或只有2個1只有一個8或只有1個1
獎金(單位:元)4m2mm
商家為了解計劃的可行性,以便估計獎金數(shù),進(jìn)行了隨機(jī)模擬試驗產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù),每組三個數(shù),試驗結(jié)果如下:247,235,145,124,754,353,296,658,379,011,521,356,208,954,245,364,135,888,357,265.
(Ⅰ)在以上20組數(shù)中,隨機(jī)抽取3組數(shù),求至少有一組獲獎的概率;
(Ⅱ)根據(jù)上述模擬試驗的結(jié)果,將頻率視為概率:
①若活動期間,某人購買3臺空調(diào),求恰好有一臺中獎的概率;
②若本次活動計劃平均每臺空調(diào)的獎金不超過300元,求m的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)F(x)=lnx-ax-
a-1
x
+1.
(1)若曲線y=F(x)在點(2,F(xiàn)(2))處的切線垂直于y軸,求實數(shù)a的值;
(2)若0≤a≤
1
2
,求函數(shù)F(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)若曲線y=F(x)(x∈[1,2])上任意兩點(x1,F(xiàn)(x1)),(x2,F(xiàn)(x2))的連線的斜率恒大于-a-1,求實數(shù)a的取值范圍.

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同步練習(xí)冊答案