如圖,AA1、BB1為圓柱OO1的母線,BC是底面圓O的直徑,D、E分別是AA1、CB1的中點,AB=AC.
(Ⅰ)證明:DE∥平面ABC;
(Ⅱ)證明:平面B1DC⊥平面CBB1
(Ⅲ)若BB1=BC,求二面角A1-B1C-B的余弦值.
考點:與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,平面與平面垂直的判定
專題:空間位置關(guān)系與距離
分析:(Ⅰ)連接EO、OA,由已條條件推導(dǎo)出四邊形AOED是平行四邊形,由此能證明DE∥平面ABC.
(Ⅱ)由已知條件條件出AO⊥平面BB1C,從而得到DE⊥平面BB1C,由此能證明平面B1DC⊥平面CBB1
(Ⅲ)作過C的母線CC1,連接B1C1,連接A1O1,過O1作O1H⊥B1C,連接A1H,由已知條件推導(dǎo)出∠A1HO1為二面角A1-B1C-B平面角的補角,由此能求出平面A1B1C與平面BB1C所成二面角A1-B1C-B的余弦值.
解答: (Ⅰ)證明:如圖,連接EO、OA.
∵E、O分別為CB1、BC的中點,∴EO是△BB1C的中位線,
∴EO∥BB1EO=
1
2
BB1

又DA∥BB1DA=
1
2
BB1=EO
,∴DA∥EO且DA=EO,
∴四邊形AOED是平行四邊形,即DE∥OA,
又DE?平面ABC,OA?平面ABC,
∴DE∥平面ABC.…(4分)
(Ⅱ)證明:∵AB=AC,BC為直徑,∴AO⊥BC,
又BB1⊥AO,從而AO⊥平面BB1C,
∵DE∥AO,∴DE⊥平面BB1C,DE?平面B1DC,
∴平面B1DC⊥平面CBB1…(8分)
(Ⅲ)解:如圖,作過C的母線CC1,連接B1C1
則B1C1是上底面圓O1的直徑,連接A1O1,
則A1O1∥AO,又AO⊥平面CBB1C1
∴A1O1⊥平面CBB1C1,過O1作O1H⊥B1C,
連接A1H,則A1H⊥B1C,所以∠A1HO1為二面角A1-B1C-B平面角的補角.…(10分)
∵BB1=BC,∴BB1C1C為正方形,O1B1C =450,∴O1H=O1B1•sin450=
2
2
r
(r為圓柱半徑),
∴在Rt△A1O1H中,cos∠A1HO1=
O1H
A1H
=
2
2
r
r2+(
2
2
r)
2
=
3
3

∴平面A1B1C與平面BB1C所成二面角A1-B1C-B的余弦值是-
3
3
.…(12分)
點評:本題考查直線與平面平行的證明,考查平面與平面垂直的證明,考查二面角的余弦值的求法,解題時要認真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).
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1
2
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a
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x2
a2
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2
2
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