Question

5．已知定義在R上的函數f（x）=asinωx+bcosωx（ω＞0）的周期為π，且對一切x∈R，都有f（x）≤f（$\frac{π}{12}$）=8．
（1）求函數f（x）的表達式；
（2）若g（x）=f（$\frac{π}{6}$-x），求函數g（x）的單調減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用輔助角公式化簡，通過周期求出ω，通過函數的最值，列出方程，求出函數的解析式即可．
（2）利用g（x）=f（$\frac{π}{6}$-x），求出函數的解析式，利用正弦函數的單調性，求出函數的單調區(qū)間即可．

解答 解：（1）∵f（x）=asinωx+bcosωx=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$sin（ωx+φ），又周期T=$\frac{2π}{ω}$=π
∴ω=2
∵對一切x∈R，都f（x）≤f（$\frac{π}{12}$）=8．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}=8}\\{asin\frac{π}{6}+bcos\frac{π}{6}=8}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=4\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴f（x）的解析式為f（x）=4sin2x+4$\sqrt{3}$cos2x
（2）∵g（x）=f（$\frac{π}{6}$-x）=8sin[2（$\frac{π}{6}$-x）+$\frac{π}{3}$]=8sin（-2x+$\frac{2π}{3}$）=-8sin（2x-$\frac{2π}{3}$），
∴g（x）的減區(qū)間是函數y=sin（2x-$\frac{2π}{3}$）的增區(qū)間
∴由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{2π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$得g（x）的減區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{7π}{12}$]（k∈Z）．

點評 本題考查三角函數中的恒等變換應用，兩角和與差的正弦函數，二倍角的正弦，考查計算能力．