Question

某射擊比賽，開始時(shí)在距目標(biāo)100米處射擊，如果命中記3分，且停止射擊；若第一次射擊未命中，可以進(jìn)行第二次射擊，但目標(biāo)已在150米處，這時(shí)命中記2分，且停止射擊；若第二次仍未命中還可以進(jìn)行第三次射擊，但此時(shí)目標(biāo)已在200米處，若第三次命中則記1分，并停止射擊；若三次都未命中，則記0分．已知射手的命中率P與目標(biāo)距離x（米）的關(guān)系為P（x）=

k

x2

，且在100米處擊中目標(biāo)的概率為

1

2

，假設(shè)各次射擊相互獨(dú)立．
（Ⅰ）求這名射手在射擊比賽中命中目標(biāo)的概率；
（Ⅱ）求這名射手在比賽中得分ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望E（ξ）．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）記“第一、二、三次射擊命中目標(biāo)”分別為事件A，B，C，“三次都未擊中”為事件D，由此利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式能求出這名射手在射擊比賽中命中目標(biāo)的概率．
（Ⅱ）由題意知ξ=0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（Ⅰ）記“第一、二、三次射擊命中目標(biāo)”分別為事件A，B，C，
“三次都未擊中”為事件D，
則P（A）=

1

2

，∵x=100時(shí)，P（A）=

1

2

，∴k=5000，
∴P（x）=

5000

x2

，
P(B)=

5000

1502

=

2

9

，
P(C)=

5000

2002

=

1

8

，
P(D)=

1

2

×

7

9

×

7

8

=

49

144

，
∴這名射手在射擊比賽中命中目標(biāo)的概率為：
1-P(D)=

95

144

．
（Ⅱ）由題意知ξ=0，1，2，3，
P(ξ=3)=

1

2

，
P(ξ=2)=

1

2

×

2

9

=

1

9

，
P(ξ=1)=

1

2

×

7

9

×

1

8

=

7

144

，
P(ξ=0)=

1

2

×

7

9

×

7

8

=

49

144

，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	49 144	7 144	1 9	1 2

E(ξ)=3×

1

2

+2×

1

9

+1×

7

144

+0×

49

144

=

85

48

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，在歷年高考中都是必考題型．