Question

設(shè)f（x）=

p

•

q

，而

p

=（2-4sin²

ωx

2

，1），

q

=（cosωx，

3

sin2ωx）（x∈R）．
（1）若f（

π

3

）最大，求ω能取到的最小正數(shù)值；
（2）對（1）中的ω，若f（x）=（2+

3

）sinx+1且x∈（0，

π

2

），求tan

x

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值

專題：三角函數(shù)的求值,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用平面向量的數(shù)量積和三角函數(shù)的恒等變換，求出f（x）的表達(dá)式，由x=

π

3

時(shí)，f（x）最大，求出ω的值；
（2）由（1）求出f（x）的解析式，結(jié)合f（x）=（2+

3

）sinx+1，求出tanx的值；再由半角公式求出tan

x

2

的值．

解答： 解：（1）∵f（x）=

p

•

q

=（2-4sin²

ωx

2

）cosωx+

3

sim2ωx
=2cosωx•cosωx+

3

sin2ωx
=cos2ωx+

3

sin2ωx+1
=2sin（2ωx+

π

6

）+1，
當(dāng)x=

π

3

時(shí)，2ω×

π

3

+

π

6

=

π

2

，
解得ω=

1

2

；
（2）∵ω=

1

2

時(shí)，f（x）=2sin（x+

π

6

）+1，
且f（x）=（2+

3

）sinx+1；
∴2sin（x+

π

6

）+1=（2+

3

）sinx+1，
即2sinxcos

π

6

+2cosxsin

π

6

=2sinx+

3

sinx，
∴tanx=

1

2

；
∴

2tan x 2

1-tan2 x 2

=

1

2

，
解得tan

x

2

=

5

-2，或tan

x

2

=-

5

-2，
又∵x∈（0，

π

2

），∴

x

2

∈（0

π

4

），
∴tan

x

2

=

5

-2．

點(diǎn)評：本題考查了平面向量的應(yīng)用問題以及三角函數(shù)的恒等變換三角函數(shù)求值等問題，是綜合題目．