設(shè)f(x)=
p
q
,而
p
=(2-4sin2
ωx
2
,1),
q
=(cosωx,
3
sin2ωx)(x∈R).
(1)若f(
π
3
)最大,求ω能取到的最小正數(shù)值;
(2)對(1)中的ω,若f(x)=(2+
3
)sinx+1且x∈(0,
π
2
),求tan
x
2
考點(diǎn):三角函數(shù)的最值,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值
專題:三角函數(shù)的求值,平面向量及應(yīng)用
分析:(1)利用平面向量的數(shù)量積和三角函數(shù)的恒等變換,求出f(x)的表達(dá)式,由x=
π
3
時(shí),f(x)最大,求出ω的值;
(2)由(1)求出f(x)的解析式,結(jié)合f(x)=(2+
3
)sinx+1,求出tanx的值;再由半角公式求出tan
x
2
的值.
解答: 解:(1)∵f(x)=
p
q
=(2-4sin2
ωx
2
)cosωx+
3
sim2ωx
=2cosωx•cosωx+
3
sin2ωx
=cos2ωx+
3
sin2ωx+1
=2sin(2ωx+
π
6
)+1,
當(dāng)x=
π
3
時(shí),2ω×
π
3
+
π
6
=
π
2
,
解得ω=
1
2

(2)∵ω=
1
2
時(shí),f(x)=2sin(x+
π
6
)+1,
且f(x)=(2+
3
)sinx+1;
∴2sin(x+
π
6
)+1=(2+
3
)sinx+1,
即2sinxcos
π
6
+2cosxsin
π
6
=2sinx+
3
sinx,
∴tanx=
1
2
;
2tan
x
2
1-tan2
x
2
=
1
2
,
解得tan
x
2
=
5
-2,或tan
x
2
=-
5
-2,
又∵x∈(0,
π
2
),∴
x
2
∈(0
π
4
),
∴tan
x
2
=
5
-2.
點(diǎn)評:本題考查了平面向量的應(yīng)用問題以及三角函數(shù)的恒等變換三角函數(shù)求值等問題,是綜合題目.
練習(xí)冊系列答案
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已知{an}是等差數(shù)列,其前n項(xiàng)的和為Sn,{bn}是等比數(shù)列,且a1=b1=2,a4+b4=21,S4+b4=30.
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)記cn=anbn,n∈N*,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和.

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(Ⅰ)證明:點(diǎn)F在直線BD上;
(Ⅱ)設(shè)
FA
FB
=
8
9
,求∠DBK的平分線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo).

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3
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15
3
4
,則
BC
BA
的值=
 

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4
3
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