【題目】已知空間四邊形ABCD，E、H分別是AB、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是邊BC、DC的三等分點(diǎn)（如圖），
求證：
（1）對角線AC、BD是異面直線；
（2）直線EF和HG必交于一點(diǎn)，且交點(diǎn)在AC上．

【答案】
（1）證明：假設(shè)對角線AC、BD在同一平面α內(nèi)，

則A、B、C、D都在平面α內(nèi)，這與ABCD是空間四邊形矛盾，

∴AC、BD是異面直線．


（2）證明：∵E、H分別是AB、AD的中點(diǎn)，∴EH BD．

又F、G分別是BC、DC的三等分點(diǎn)，

∴FG BD．∴EH∥FG，且EH＜FG．

∴FE與GH相交．

設(shè)交點(diǎn)為O，又O在GH上，GH在平面ADC內(nèi)，∴O在平面ADC內(nèi)．

同理，O在平面ABC內(nèi)．

從而O在平面ADC與平面ABC的交線AC上．


【解析】（1）利用反證法證明對角線AC、BD是共面直線，推出矛盾，從而證明是異面直；（2）說明直線EF和HG必交于一點(diǎn)，然后證明這點(diǎn)在平面ADC內(nèi)．又在平面ABC內(nèi)，必在它們的交線AC上．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解平面的基本性質(zhì)及推論(如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi);過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面;如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線)，還要掌握異面直線的判定(過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線.（不在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線）)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．

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