Question

定義在R上的奇函數(shù)f（x）=a+

1

1+4x

．
（1）求a的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）的單調(diào)性并用定義給予證明；
（3）若對(duì)任意的t∈[1，+∞），不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用奇函數(shù)性質(zhì)f（0）=0得到關(guān)于a的方程求解，（2）先給出單調(diào)性的判斷，然后利用定義法求證，（3）利用單調(diào)性和奇偶性去函數(shù)符號(hào)，然后恒成立轉(zhuǎn)化為最值求解．

解答： 解（1）；函數(shù)f（x）為定義域?yàn)镽上的奇函數(shù)，則有f0）=0，即a+

1

2

=0，則a=-

1

2

；
（2）由（1）得函數(shù)f（x）=

1

1+4x

-

1

2

=，
函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）的單調(diào)遞減，證明如下；
取任意兩實(shí)數(shù)x₁、x₂，且x₁＜x₂，則有
f（x₁）-f（x₂）=

1

1+4x1

-

1

2

-（

1

1+4x2

-

1

2

）=

1

1+4x1

-

1

1+4x2

=

4x2-4x1

(1+4x1)(1+4x2)

，
∵x₁＜x₂，
∴4 x2-4 x1＞0，

4x2-4x1

(1+4x1)(1+4x2)

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
則函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）的單調(diào)遞減．
（3）不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0即為不等式f（t²-2t）＜-f（2t²-k），
由函數(shù)f（x）為R上的奇函數(shù)，f（-x）=-f（x）有f（t²-2t）＜f（k-2t²），
又（2）得函數(shù)f（x）在R的單調(diào)遞減，得t²-2t＞k-2t²，
則k＜3t²-2t，
令g（t）=3t²-2t，t∈[1，+∞），則函數(shù)在[1，+∞）上單調(diào)遞增，t=1時(shí)，取得最小值1，
則實(shí)數(shù)k的取值范圍為k＜1．

點(diǎn)評(píng)：在函數(shù)性質(zhì)部分一定要牢固掌握定義法和相應(yīng)的步驟，便于快速解題，恒成立問(wèn)題一般都是轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題求解．