Question

已知函數(shù)f（x）=

x2

x+1

．
（1）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上的單調(diào)性，并用定義證明；
（2）解關(guān)于x的不等式：f（x）＜a+x（a∈R）．

Answer 1

考點(diǎn)：其他不等式的解法,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）按照函數(shù)單調(diào)性的定義解答；
（2）將f（x）＜a+x（a∈R）化簡，討論兩根根的大小，決定不等式的解集．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞增；
證明如下：
任取0≤x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=

x12

x1+1

-

x22

x2+1

=

(x1-x2)(x1x2+x1+x2)

(x1+1)(x2+1)

，∵x₁+1＞0，x₂+1＞0，x₁-x₂0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x）在[0，+∞）單調(diào)遞增．
（2）∵

x2

x+1

＜x+a⇒

(a+1)x+a

x+1

＞0
當(dāng)a=-1時(shí)，x＜-1；
當(dāng)a＞-1時(shí)，∵-

a

a+1

-（-1）=

1

a+1

＞0，
∴x＞-

a

a+1

或者x＜-1；
當(dāng)a＜-1時(shí)，-

a

a+1

＜x＜-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性定義判斷函數(shù)的單調(diào)性以及討論思想的運(yùn)用．