Question

已知兩個(gè)正變量x，y滿(mǎn)足x+y=4，則使不等式

1

x

+

1

y

≥m恒成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專(zhuān)題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：不等式

1

x

+

1

y

≥m恒成立?m≤(

1

x

+

1

y

)min．利用“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)可得

1

x

+

1

y

的最小值．

解答： 解：不等式

1

x

+

1

y

≥m恒成立?m≤(

1

x

+

1

y

)min．
∵兩個(gè)正變量x，y滿(mǎn)足x+y=4，
∴

1

x

+

1

y

=

1

4

(x+y)(

1

x

+

1

y

)=

1

4

(2+

y

x

+

x

y

)≥

1

4

(2+2

y x • x y

)=1，
∴m≤1．
∴使不等式

1

x

+

1

y

≥m恒成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，1]．
故答案為：（-∞，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)、恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．