【題目】如圖,三棱錐P﹣ABC中,PC⊥平面ABC,PC=3,∠ACB= .D,E分別為線段AB,BC上的點,且CD=DE= ,CE=2EB=2
(1)證明:DE⊥平面PCD
(2)求二面角B﹣PD﹣C的余弦值.
【答案】
(1)證明:由PC⊥平面ABC,DE平面ABC,故PC⊥DE,
由CE=2,CD=DE= ,得△CDE為等腰直角三角形,故CD⊥DE,
由PC∩CD=C,DE垂直于平面PCD內兩條相交直線,
故DE⊥平面PCD.
(2)解:以C為坐標原點,分別以 的方向為x軸,y軸,z軸的正方向,建立空間直角坐標系,
則C(0,0,0,),P(0,0,3),B(0,3,0),E(0,2,0),D(1,1,0),
=(﹣1,1,0), =(﹣1,﹣1,3), =(﹣1,2,0),
設平面PAD的法向量 =(x1,y1,z1),
則 ,取x=2,得 =(2,1,1),
由(1)知DE⊥平面PCD,故 =(﹣1,1,0)是平面PCD的法向量,
從而法向量 , 的夾角的余弦值為cos< , >= =﹣ ,
故所求二面角B﹣PD﹣C的余弦值為﹣ .
【解析】(1)由PC⊥平面ABC,得PC⊥DE,CD⊥DE,由此能證明DE⊥平面PCD.(2)以C為坐標原點,分別以 的方向為x軸,y軸,z軸的正方向,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出二面角B﹣PD﹣C的余弦值.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用直線與平面垂直的判定的相關知識可以得到問題的答案,需要掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點:a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數(shù)學思想.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設f(n)是定義在N*上的增函數(shù),f(4)=5,且滿足:
①任意n∈N*,f(n) Z;②任意m,n∈N*,有f(m)f(n)=f(mn)+f(m+n-1).
(1)求f(1),f(2),f(3)的值;
(2)求f(n)的表達式.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,直角中,∠,,D、E分別是AB、BC邊的中點,沿DE將折起至,且∠.
(Ⅰ)求四棱錐F-ADEC的體積;
(Ⅱ)求證:平面ADF⊥平面ACF.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知F1、F2分別是雙曲線 的左右焦點,A為雙曲線的右頂點,線段AF2的垂直平分線交雙曲線與P,且|PF1|=3|PF2|,則該雙曲線的離心率是( )
A.
B.
C.
D.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】對于無窮數(shù)列,記,若數(shù)列滿足:“存在,使得只要(且),必有”,則稱數(shù)列具有性質.
(Ⅰ)若數(shù)列滿足判斷數(shù)列是否具有性質?是否具有性質?
(Ⅱ)求證:“是有限集”是“數(shù)列具有性質”的必要不充分條件;
(Ⅲ)已知是各項為正整數(shù)的數(shù)列,且既具有性質,又具有性質,求證:存在整數(shù),使得是等差數(shù)列.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)f′(x)是二次函數(shù),如圖是f′(x)的大致圖象,若f(x)的極大值與極小值的和等于 ,則f(0)的值為( )
A.0
B.
C.
D.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某學校為了解高三年級學生寒假期間的學習情況,抽取甲、乙兩班,調查這兩個班的學生在寒假期間每天平均學習的時間(單位:小時),統(tǒng)計結果繪成頻率分布直方圖(如圖).已知甲、乙兩班學生人數(shù)相同,甲班學生每天平均學習時間在區(qū)間[2,4]的有8人.
(1)求直方圖中a的值及甲班學生每天平均學習時間在區(qū)間(10,12]的人數(shù);
(2)從甲、乙兩個班每天平均學習時間大于10個小時的學生中任取4人參加測試,設4人中甲班學生的人數(shù)為ξ,求ξ的分布列和數(shù)學期望.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】以下四個命題中其中真命題個數(shù)是( 。
①為了了解800名學生的成績,打算從中抽取一個容量為40的樣本,考慮用系統(tǒng)抽樣,則分段的間隔k為40;
②線性回歸直線 恒過樣本點的中心 ;
③隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(2,σ2)(σ>0),若在(﹣∞,1)內取值的概率為0.1,則在(2,3)內的概率為0.4;
④若事件和滿足關系,則事件和互斥.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)f'(x)滿足2f(x)+xf′(x)>x2(x∈R),則對x∈R都有( )
A.x2f(x)≥0
B.x2f(x)≤0
C.x2[f(x)﹣1]≥0
D.x2[f(x)﹣1]≤0
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網違法和不良信息舉報平臺 | 網上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com