Question

1．若函數(shù)f（x）同時滿足：
①對于定義域上的任意x，恒有f（x）+f（-x）=0
②對于定義域上的任意x₁，x₂，當(dāng)x₁≠x₂時，恒有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＜0$，則稱函數(shù)f（x）為“理想函數(shù)”．
給出下列四個函數(shù)中：
①$f（x）=\frac{1}{x}$；
②f（x）=x²； 
③f（x）=-x；
④$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{-{x^2}}&{x≥0}\\{{x^2}}&{x＜0}\end{array}}\right.$
能被稱為“理想函數(shù)”的有（　�。﹤�．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 判斷出基本初等函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性說明①②不是“理想函數(shù)”，③是“理想函數(shù)”；作出④的圖象，由圖象可得奇偶性與單調(diào)性說明④是“理想函數(shù)”．

解答 解：由①知，函數(shù)為奇函數(shù)；由②知，函數(shù)為單調(diào)函數(shù)．
則即是奇函數(shù)又是單調(diào)函數(shù)的函數(shù)為“理想函數(shù)”．
對于①，f（x）=$\frac{1}{x}$是奇函數(shù)，但不是單調(diào)函數(shù)，故①不是“理想函數(shù)”；
對于②，f（x）=x²，是偶函數(shù)，故②不是“理想函數(shù)”；
對于③，f（x）=-x，是奇函數(shù)，又是定義域內(nèi)的減函數(shù)，故③是“理想函數(shù)”；
對于④，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}，x≥0}\\{{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，作函數(shù)的圖象如圖：
由圖可知，函數(shù)是“理想函數(shù)”．
∴能被稱為“理想函數(shù)”的有2個，
故選：B．

點評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判定，是基礎(chǔ)題．