【題目】如圖，過(guò)橢圓： 的左右焦點(diǎn)分別作直線， 交橢圓于與，且.

（1）求證：當(dāng)直線的斜率與直線的斜率都存在時(shí)， 為定值；

（2）求四邊形面積的最大值.

【答案】（1）見(jiàn)解析;（2）.

【解析】試題分析: (1)設(shè) ,分別將坐標(biāo)代入橢圓中,得出兩等式,相減得出 ,寫(xiě)出的表達(dá)式,化簡(jiǎn)得出結(jié)果; (2)設(shè)直線 的方程,聯(lián)立直線的方程和橢圓方程,求出 ,算出的表達(dá)式,而 ,代入,用基本不等式求出最大值,再得出四邊形面積的最大值.

試題解析: （1）設(shè), ,根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，有，因?yàn)?/span>, 都在橢圓上，所以， ，二式相減得， ，所以為定值.

（2）當(dāng)的傾斜角為時(shí)， 與重合，舍去.

當(dāng)的傾斜角不為0時(shí)，由對(duì)稱(chēng)性得四邊形為平行四邊形， ，設(shè)直線的方程為，代入，得.顯然， ， .

所以

設(shè)，所以， .所以.

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以.

所以平行四邊形面積的最大值為.

點(diǎn)睛: 本題主要考查直線與橢圓相交時(shí)的有關(guān)知識(shí),考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力,屬于中檔題.解題技巧: 在(1)中,采用設(shè)而不求;在(2)中, 設(shè)直線 的方程比 好,因?yàn)槁?lián)立直線與橢圓方程計(jì)算量減少,還有,由韋達(dá)定理可求出.在求三角形面積最大值時(shí),將 看成一個(gè)整體,利用基本不等式求出最大值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】下列命題：
·（1）y=|cos（2x+ ）|最小正周期為π；
·（2）函數(shù)y=tan 的圖象的對(duì)稱(chēng)中心是（kπ，0），k∈Z；
·（3）f（x）=tanx﹣sinx在（﹣ ， ）上有3個(gè)零點(diǎn)；
·（4）若 ∥ ， ，則
其中錯(cuò)誤的是 ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù) ． （I）求 的值；
（II）若f（a）＞f（﹣a），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某校計(jì)劃面向高一年級(jí)名學(xué)生開(kāi)設(shè)校本選修課程，為確保工作的順利實(shí)施，先按性別進(jìn)行分層抽樣，抽取了名學(xué)生對(duì)社會(huì)科學(xué)類(lèi)，自然科學(xué)類(lèi)這兩大類(lèi)校本選修課程進(jìn)行選課意向調(diào)查，其中男生有人.在這名學(xué)生中選擇社會(huì)科學(xué)類(lèi)的男生、女生均為人.

（Ⅰ）分別計(jì)算抽取的樣本中男生及女生選擇社會(huì)科學(xué)類(lèi)的頻率，并以統(tǒng)計(jì)的頻率作為概率，估計(jì)實(shí)際選課中選擇社會(huì)科學(xué)類(lèi)學(xué)生數(shù)；

（Ⅱ）根據(jù)抽取的名學(xué)生的調(diào)查結(jié)果，完成下列列聯(lián)表.并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為科類(lèi)的選擇與性別有關(guān)？

選擇自然科學(xué)類(lèi)

選擇社會(huì)科學(xué)類(lèi)

合計(jì)

男生

女生

合計(jì)

附： ，其中.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】面對(duì)全球范圍內(nèi)日益嚴(yán)峻的能源形勢(shì)與環(huán)保壓力，環(huán)保與低碳成為今后汽車(chē)發(fā)展的一大趨勢(shì)，越來(lái)越多的消費(fèi)者對(duì)新能源汽車(chē)表示出更多的關(guān)注，某研究機(jī)構(gòu)從汽車(chē)市場(chǎng)上隨機(jī)抽取N輛純電動(dòng)汽車(chē)調(diào)查其續(xù)航里程（單次充電后能行駛的最大里程），被調(diào)查汽車(chē)的續(xù)航里程全部介于100公里和450公里之間，根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)形成了如圖所示頻率分布表及頻率分布直方圖．

頻率分布表

分組

頻數(shù)

頻率

[100，150）

1

0.05

[150，200）

3

0.15

[200，250）

x

0.1

[250，300）

6

0.3

[300，350）

4

0.2

[350，400）

3

y

[400，450]

1

0.05

合計(jì)

N

1

（1）試確定頻率分布表中x，y，N的值，并補(bǔ)全頻率分布直方圖；

（2）若從續(xù)航里程在[200，250）及[350，400）的車(chē)輛中隨機(jī)抽取2輛車(chē)，求兩輛車(chē)?yán)m(xù)航里程都在[350，400）的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=x3+x2+mx在x=1處有極小值，

g（x）=f（x）﹣x3﹣x2+x﹣alnx．

（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）是否存在實(shí)數(shù)a，對(duì)任意的x1、x2∈（0，+∞），且x1≠x2，有恒成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓：的離心率為，且過(guò)點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)，（都在軸上方），且.

（ⅰ）若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，求的面積；

（ⅱ）直線是否恒過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，傾斜角，圓的極坐標(biāo)方程為．

（Ⅰ）寫(xiě)出直線l的參數(shù)方程，并把圓的方程化為直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）設(shè)l與圓相交于兩點(diǎn)，求點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】定義：若函數(shù)y=f（x）在某一區(qū)間D上任取兩個(gè)實(shí)數(shù)x1、x2 ， 且x1≠x2 ， 都有 ，則稱(chēng)函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上具有性質(zhì)L．
（1）寫(xiě)出一個(gè)在其定義域上具有性質(zhì)L的對(duì)數(shù)函數(shù)（不要求證明）．
（2）對(duì)于函數(shù) ，判斷其在區(qū)間（0，+∞）上是否具有性質(zhì)L？并用所給定義證明你的結(jié)論．
（3）若函數(shù) 在區(qū)間（0，1）上具有性質(zhì)L，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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