Question

當1≤x≤64時，求y=（log₂x）⁴+12（log₂x）²•log₂

8

x

的最大值．

Answer 1

考點：對數(shù)的運算性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：設log₂x=t，由1≤x≤64，可得0≤t≤6．則y=（log₂x）⁴+12（log₂x）²•（3-log₂x）=（log₂x）⁴-12(log2x)3+36(log2x)2=t⁴-12t³+36t²=f（t），利用導數(shù)研究其到底是極值與最值即可得出．

解答： 解：設log₂x=t，∵1≤x≤64，∴0≤t≤6．
則y=（log₂x）⁴+12（log₂x）²•（3-log₂x）=（log₂x）⁴-12(log2x)3+36(log2x)2=t⁴-12t³+36t²=f（t），
f′（t）=4t³-36t²+72t=4t（t²-9t+18）=4t（t-3）（t-6），
由f′（t）＞0，解得3＜t＜6，此時函數(shù)f（t）單調(diào)遞增；由f′（t）＜0，解得0＜t＜3，此時函數(shù)f（t）單調(diào)遞減．
而f（0）=0，f（6）=6⁴-12×6³+36×6²=0．
∴f（t）的最大值為0，即當x=1或64時，y取得最大值．

點評：本題考查了對數(shù)的運算法則、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了換元法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．