Question

17．已知數列{a_n}滿足：a_n+1=a_n（1-2a_n+1），a₁=1，數列{b_n}滿足：b_n=a_n•a_n+1，則數列{b_n}的前2017項的和S₂₀₁₇=$\frac{2017}{4035}$．

Answer 1

分析 由已知數列遞推式可得數列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1為首項，以2為公差的等差數列，求其通項公式，代入b_n=a_n•a_n+1，再由裂項相消法求S₂₀₁₇ ．

解答 解：由a_n+1=a_n（1-2a_n+1），得a_n+1=a_n-2a_na_n+1，
∴a_n-a_n+1=2a_na_n+1，即$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}=2$．
又a₁=1，∴數列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1為首項，以2為公差的等差數列，
則$\frac{1}{{a}_{n}}=1+2（n-1）=2n-1$．
∴b_n=a_n•a_n+1=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．
則S₂₀₁₇=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{4033}-\frac{1}{4035}）$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{4035}）=\frac{2017}{4035}$．
故答案為：$\frac{2017}{4035}$．

點評 本題考查數列遞推式，考查了等差關系的確定，訓練了裂項相消法求數列的前n項和，屬中檔題．