Question

我們把定義域不同，但值域相同的函數(shù)叫“同族函數(shù)”，則下列函數(shù)：
①f（x）=2x-

1

x

，x∈（1，+∞）；
②f（x）=

1

1+x2

，x∈R；
③f（x）=log₂（2^|x|+1），x∈R；
④f（x）=4^x+2^x+1+1，x∈R；
與函數(shù)f（x）=

x+1

x

，x∈（0，+∞）為同族函數(shù)的有

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)的值域

專題：新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先求出函數(shù)f（x）的值域是什么，再求出①、②、③、④中的函數(shù)f（x）的值域，判斷它們是否為同族函數(shù)即可．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=

x+1

x

=1+

1

x

，定義域是（0，+∞），值域是（1，+∞）；
∴對(duì)于①，f（x）=2x-

1

x

，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f（x）是單調(diào)增函數(shù)，且f（x）＞2-1=1，
∴f（x）的值域是（1，+∞），值域相同，是同族函數(shù)；
對(duì)于②，f（x）=

1

1+x2

，當(dāng)x∈R時(shí)，f（x）的值域是[1，+∞），值域不同，∴不是同族函數(shù)；
對(duì)于③，f（x）=log₂（2^|x|+1），當(dāng)x∈R時(shí)，2^|x|≥1，∴l(xiāng)og₂（2^|x|+1）≥1，
∴f（x）的值域是[1，+∞），值域不同，不是同族函數(shù)；
對(duì)于④，f（x）=4^x+2^x+1+1=（2^x+1）²，當(dāng)x∈R時(shí)，f（x）的值域是（1，+∞），
值域相同，是同族函數(shù)；
綜上，為同族函數(shù)的序號(hào)是①④．
故答案為：①④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的新定義的應(yīng)用問(wèn)題，也是求函數(shù)值域的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．