Question

已知向量 

m

=（

3

sin

x

4

，1），

n

=（cos

x

4

，cos²

x

4

），記  f（x）=

m

•

n

（Ⅰ）若 f（a）=

3

2

，求cos（

2π

3

-a）的值；
（Ⅱ）將函數(shù) y=f（x）的圖象向右平移

2π

3

個單位得到y(tǒng)=g（x）的圖象，若函數(shù)y=g（x）-k在[0，

7π

3

]上有零點，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角

專題：計算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先化簡求得f（x）的解析式，由已知可求得a的值，從而可求cos（

2π

3

-a）的值；
（Ⅱ）先求得y=g（x）-k的解析式，從而可求g（x）的值域，由函數(shù)y=g（x）的圖象與直線y=k在[0，

7π

3

]上有交點，可得實數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：f（x）=

m

•

n

=

3

sin

x

4

cos

x

4

+cos²

x

4

=

3

2

sin

x

2

+

1

2

cos

x

2

+

1

2

=sin（

x

2

+

π

6

）+

1

2

…（2分）
（Ⅰ）由f（a）=

3

2

得sin（

α

2

+

π

6

）+

1

2

=

3

2

，于是α=4kπ+

2π

3

，k∈Z，
∴cos（

2π

3

-a）=cos（

2π

3

-4kπ-

2π

3

）=1…（5分）
（Ⅱ）將函數(shù) y=f（x）的圖象向右平移

2π

3

個單位得到y(tǒng)=g（x）=sin（

1

2

x-

π

6

）+

1

2

的圖象，…（7分）
則y=g（x）-k=sin（

1

2

x-

π

6

）+

1

2

-k，
因為-

π

6

≤

1

2

x-

π

6

≤π，所以-

1

2

≤sin（

1

2

x-

π

6

）≤1，
所以0≤sin（

1

2

x-

π

6

）+

1

2

≤

3

2

，…（8分）
若函數(shù)y=g（x）-k在[0，

7π

3

]上有零點，則函數(shù)y=g（x）的圖象與直線y=k在[0，

7π

3

]上有交點，
所以實數(shù)k的取值范圍是[0，

3

2

]…（10分）

點評：本題主要考察了平面向量及應(yīng)用，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，屬于基本知識的考查．