Question

已知定義在[-2，2]上的奇函數(shù)f（x）在（0，2]上的圖象如圖所示，
（1）求f（x）的解析式；
（2）并求不等式f（x）＞x．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）可設(shè)x∈（0，2]，f（x）=kx+b（k≠0），代入數(shù)據(jù)，列出方程，解得即可得到，令-2≤x＜0，則0＜-x≤2，再由已得的表達(dá)式以及奇函數(shù)的定義，即可得到；
（2）不等式f（x）＞x即為

-2≤x＜0 - 1 2 x-1＞x

或

0＜x≤2 - 1 2 x+1＞x

或

x=0 0＞x

，分別解出它們，最后求并集即可．

解答： 解：（1）由圖可設(shè)x∈（0，2]，f（x）=kx+b（k≠0）
根據(jù)圖象有

f(0)=1 f(2)=0

，解得

k=- 1 2 b=1

，所以x∈(0，2]，f(x)=-

1

2

x+1；
令-2≤x＜0，則0＜-x≤2，則有f（-x）=

1

2

x+1，
又f（x）為奇函數(shù)，則f（-x）=-f（x），
即f（x）=-

1

2

x-1（x∈[-2，0）），又f（0）=0，
則f（x）=

- 1 2 x-1，-2≤x＜0 0，x=0 - 1 2 x+1，0＜x≤2

；
（2）不等式f（x）＞x即為

-2≤x＜0 - 1 2 x-1＞x

或

0＜x≤2 - 1 2 x+1＞x

或

x=0 0＞x

，
即有-2≤x＜-

2

3

或0＜x＜

2

3

或x∈∅，
則原不等式的解集為：[-2，-

2

3

）∪（0，

2

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的解析式的求法：待定系數(shù)法，考查分段函數(shù)的運(yùn)用：解不等式，注意各段的情況，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．