Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=0，a₂=2，a_n+2=[1+

1+(-1)n

2

]a_n+2[1+（-1）ⁿ⁺¹]，n=1，2，3…．
（1）求a₃，a₄，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{a_n}的前2n項和．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)數(shù)列的通項公式，利用分類的方法求出數(shù)列的通項公式．
（2）利用分類法求數(shù)列的和．

解答： 解：已知：數(shù)列{a_n}滿足a_n+2=[1+

1+(-1)n

2

]a_n+2[1+（-1）ⁿ⁺¹]，n=1，2，3…．
則：a₃=a₁+4=4，
a₄=2a₂=4，
則：當n為偶數(shù)時，a_n+2=2a_n（n≥2），
所以：an=2

n

2

．
當n為奇數(shù)時，a_n+2=a_n+4（n≥1），
所以：a_n=2n-2．
所以：an=

2 n 2 (n為偶數(shù)) 2n-2(n為奇數(shù))

（2）由（1）an=

2 n 2 (n為偶數(shù)) 2n-2(n為奇數(shù))

得到：T_2n=（a₁+a₃+…+a_2n-1）
=

n(a1+a2n-1)

2

+

a2(1-qn)

1-q

=n（2n-2）+2ⁿ⁺¹-2
=2ⁿ⁺¹+2n²-2n-2．

點評：本題考查的知識要點：數(shù)列通項公式的求法，利用分類法求數(shù)列的和，屬于中等題型．