Question

定義在R上的偶函數(shù)f（x），對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f（x+2）=f（x），當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x²，若在區(qū)間
[-1，3]內(nèi)，函數(shù)g（x）=f（x）-kx-k有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意可得，函數(shù)f（x）的圖象和直線y=k（x+1）在區(qū)間[-1，3]內(nèi)有4個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合求得k的范圍．

解答： 解：由題意可得，函數(shù)f（x）的周期為2，x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x²，
而f（x）是偶函數(shù)，
∴x∈[-1，1]時(shí)，f（x）=x²，
令y=kx+k，
在區(qū)間[-1，3]內(nèi)，函數(shù)g（x）=f（x）-kx-k有4個(gè)零點(diǎn)
即函數(shù)f（x）的圖象和直線y=k（x+1）在區(qū)間[-1，3]內(nèi)有4個(gè)交點(diǎn)，
如圖所示：
故有 0＜k（3+1）≤1，求得0＜k≤

1

4

，
故答案為：（0，

1

4

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．