Question

O為平行四邊形ABCD所在平面上一點(diǎn)，若3|

AB

|=2|

AD

|，

OA

+

OB

=λ（

OC

+

OD

），

OA

=μ（

AB

+2

AC

），則λ的值是（　　）

• A、-

  1

  3

• B、-

  1

  2

• C、-

  2

  3

• D、-1

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的基本定理及其意義

專(zhuān)題：平面向量及應(yīng)用

分析：如圖所示，延長(zhǎng)AC到點(diǎn)E，使得AE=2AC，以AE，AB為鄰邊作一個(gè)平行四邊形ABFE，連接對(duì)角線(xiàn)AF．分別取AB，CD的中點(diǎn)N，M．由

OA

+

OB

=λ（

OC

+

OD

），

OA

=μ（

AB

+2

AC

），可知：點(diǎn)O是AF與NM的交點(diǎn)．直線(xiàn)EF與NM相交于點(diǎn)P，直線(xiàn)EF與AD相交與點(diǎn)Q，直線(xiàn)DC與AF相交于點(diǎn)G．可得

ON

=λ

OM

.3|

AB

|=2|

AD

|，不妨設(shè)|

AB

|=2，則|

AD

|=3，利用平行四邊形的性質(zhì)、三角形中位線(xiàn)定理、平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理即可得出．

解答： 解：如圖所示，
延長(zhǎng)AC到點(diǎn)E，使得AE=2AC，以AE，AB為鄰邊作一個(gè)平行四邊形ABFE，連接對(duì)角線(xiàn)AF．
分別取AB，CD的中點(diǎn)N，M．
由

OA

+

OB

=λ（

OC

+

OD

），

OA

=μ（

AB

+2

AC

），
可知：點(diǎn)O是AF與NM的交點(diǎn)．
直線(xiàn)EF與NM相交于點(diǎn)P，直線(xiàn)EF與AD相交與點(diǎn)Q，直線(xiàn)DC與AF相交于點(diǎn)G．
∵

OA

+

OB

=2

ON

，

OC

+

OD

=2

OM

，
∴

ON

=λ

OM

．
∵3|

AB

|=2|

AD

|，
∴不妨設(shè)|

AB

|=2，則|

AD

|=3，
∵點(diǎn)C是線(xiàn)段AE的中點(diǎn)，
∴EQ=4，PQ=1，EP=3．
∴

ON

OP

=

AN

FP

=

1

5

，
∵G為AF的中點(diǎn)，
∴CG=

1

2

EF=1．
∴

OM

OP

=

MG

FP

=

2

5

，
∴

ON

OM

=

1

2

，
∴λ=-

1

2

．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的平行四邊形法則、向量共線(xiàn)定理、平行四邊形的性質(zhì)、三角形中位線(xiàn)定理、平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．