Question

現(xiàn)在休閑廣場(chǎng)活動(dòng)比較流行一種“套圈”的游戲，花1元錢可以買到2個(gè)竹制的圓形套圈，玩家站在指定的位置向放置在地面上獎(jiǎng)品拋擲，一次投擲一個(gè)，只要獎(jiǎng)品被套圈套住，則該獎(jiǎng)品即歸玩家所有，已知玩家對(duì)一款玩具熊志在必得，玩具被套走以后商家馬上更換同樣的玩具供玩具游戲，已知玩家在一段時(shí)間內(nèi)游戲中的消費(fèi)金額與中獎(jiǎng)次數(shù)之間的數(shù)據(jù)如下：

消費(fèi)金額x	2	4	6	8	12	15	16
中獎(jiǎng)次數(shù)y	1	1	2	3	4	5	5

（1）試判斷變量x與變量y之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，若是請(qǐng)求出線性回歸方程；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）①你能否通過表格中的數(shù)據(jù)估計(jì)當(dāng)玩家消費(fèi)30元時(shí)可以獲取的玩具熊的個(gè)數(shù)，若能，給出你的估計(jì)值；
②若一只玩具熊的成本價(jià)為a元，試討論商家的利潤(rùn)預(yù)期與玩具熊的成本價(jià)之間的關(guān)系？

Answer 1

考點(diǎn)：線性回歸方程

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）畫出散點(diǎn)圖即可判斷，然后代入公式即可；
（2）①由（1）得到線性回歸方程中取x=30即可估計(jì)；
②商家的利潤(rùn)預(yù)期=玩家消費(fèi)金額-玩具熊的總成本，再根據(jù)（1）將其變形代入數(shù)據(jù)即可．

解答： 解：（1）散點(diǎn)圖如圖：
根據(jù)散點(diǎn)圖可知：變量x與變量y之間具有線性相關(guān)關(guān)系；
因?yàn)?span id="dqt4vo4" class="MathJye">

.

x

=

2+4+6+8+12+15+16

7

=9，

.

y

=

1+1+2+3+4+5+5

7

=3，

7

i=1

xi2=2²+4²+6²+8²+12²+15²+16²=745，

7

i=1

xiyi=2×1+4×1+6×2+8×3+12×4+15×5+16×5=245，
所以

∧

b

=

7 i=1 xiyi-7 . x . y

7 i=1 xi2-7( . x )2

=

245-7×9×3

745-7×92

=

56

178

=

28

89

，

∧

a

=

.

y

-

∧

b

.

x

=3-

28

89

×9
=

15

89

，
故所求線性回歸方程為：

∧

y

=

28

89

x+

15

89

；
（2）①由（1）知當(dāng)玩家消費(fèi)30元時(shí)可以獲取的玩具熊的個(gè)數(shù)為

28

89

×30+

15

89

=

855

89

=9.6
≈9（個(gè)），
故估計(jì)當(dāng)玩家消費(fèi)30元時(shí)可以獲取的玩具熊的個(gè)數(shù)為9個(gè)；
②設(shè)玩具熊的總成本為n元，商家的利潤(rùn)預(yù)期為m元，
則玩具熊的個(gè)數(shù)為

n

a

個(gè)，
由（1）知玩家消費(fèi)金額為

n a - 15 89

28 89

=

89n-15a

28a

元，
從而商家的利潤(rùn)預(yù)期m為
m=

89n-15a

28a

-n
=

89n-15a-28an

28a

，
故商家的利潤(rùn)預(yù)期m與玩具熊的成本價(jià)n之間的關(guān)系為
m=

89n-15a-28an

28a

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線性回歸方程及函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，精確的計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．