Question

15．對于數列A：a₁，a₂，…，a_n，若滿足a_i∈{0，1}（i=1，2，3，…，n），則稱數列A為“0-1數列”．若存在一個正整數k（2≤k≤n-1），若數列{a_n}中存在連續(xù)的k項和該數列中另一個連續(xù)的k項恰好按次序對應相等，則稱數列{a_n}是“k階可重復數列”，例如數列A：0，1，1，0，1，1，0．因為a₁，a₂，a₃，a₄與a₄，a₅，a₆，a₇按次序對應相等，所以數列{a_n}是“4階可重復數列”．
（Ⅰ）分別判斷下列數列A：1，1，0，1，0，1，0，1，1，1．是否是“5階可重復數列”？如果是，請寫出重復的這5項；
（Ⅱ）若項數為m的數列A一定是“3階可重復數列”，則m的最小值是多少？說明理由；
（III）假設數列A不是“5階可重復數列”，若在其最后一項a_m后再添加一項0或1，均可使新數列是“5階可重復數列”，且a₄=1，求數列{a_n}的最后一項a_m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）是“5階可重復數列”．
（Ⅱ）因為數列{a_n}的每一項只可以是0或1，所以連續(xù)3項共有2³=8種不同的情形．分類討論：若m=11，則數列{a_n}中有9組連續(xù)3項，則這其中至少有兩組按次序對應相等，即項數為11的數列{a_n}一定是“3階可重復數列”；則3≤m＜10時，均存在不是“3階可重復數列”的數列{a_n}．
（III）由于數列{a_n}在其最后一項a_m后再添加一項0或1，均可使新數列是“5階可重復數列”，即在數列{a_n}的末項a_m后再添加一項0或1，則存在i≠j，使得a_i，a_i+1，a_i+2，a_i+3，a_i+4與a_m-3，a_m-2，a_m-1，a_m，0按次序對應相等，或a_j，a_j+1，a_j+2，a_j+3，a_j+4與a_m-3，a_m-2，a_m-1，a_m，1按次序對應相等，經過分析可得：a_m=a₄．

解答 解：（Ⅰ）是“5階可重復數列”，10101． …．（3分）
（Ⅱ）因為數列{a_n}的每一項只可以是0或1，所以連續(xù)3項共有2³=8種不同的情形．
若m=11，則數列{a_n}中有9組連續(xù)3項，則這其中至少有兩組按次序對應相等，即項數為11的數列{a_n}一定是“3階可重復數列”；若m=10，數列0，0，1，0，1，1，1，0，0，0不是“3階可重復數列”；則3≤m＜10時，均存在不是“3階可重復數列”的數列{a_n}．所以，要使數列{a_n}一定是“3階可重復數列”，則m的最小值是11．…．（8分）
（III）由于數列{a_n}在其最后一項a_m后再添加一項0或1，均可使新數列是“5階可重復數列”，即在數列{a_n}的末項a_m后再添加一項0或1，則存在i≠j，
使得a_i，a_i+1，a_i+2，a_i+3，a_i+4與a_m-3，a_m-2，a_m-1，a_m，0按次序對應相等，或a_j，a_j+1，a_j+2，a_j+3，a_j+4與a_m-3，a_m-2，a_m-1，a_m，1按次序對應相等，
如果a₁，a₂，a₃，a₄與a_m-3，a_m-2，a_m-1，a_m不能按次序對應相等，那么必有2≤i，j≤m-4，i≠j，使得a_i，a_i+1，a_i+2，a_i+3、a_j，a_j+1，a_j+2，a_j+3與a_m-3，a_m-2，a_m-1，a_m按次序對應相等．
此時考慮a_i-1，a_j-1和a_m-4，其中必有兩個相同，這就導致數列{a_n}中有兩個連續(xù)的五項恰按次序對應相等，從而數列{a_n}是“5階可重復數列”，這和題設中數列{a_n}不是“5階可重復數列”矛盾！所以a₁，a₂，a₃，a₄與a_m-3，a_m-2，a_m-1，a_m按次序對應相等，從而a_m=a₄=1．…．（14分）

點評 本題考查了新定義、數列的通項公式、分類討論方法、反證法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．