Question

10．過拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F作直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若$\frac{1}{|AF|}-\frac{1}{|BF|}$=$\frac{1}{2}$，則直線l的傾斜角θ（0＜θ＜$\frac{π}{2}$）等于（　　）

• A． $\frac{π}{2}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{π}{4}$
• D． $\frac{π}{6}$

Answer 1

分析 方法一．設(shè)直線AB的方程，代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理表示出x₂-x₁，根據(jù)拋物線的性質(zhì)表示丨AF丨，丨BF丨，由題意可知求得k的值，求得傾斜角θ；
方法二，由拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)$\frac{1}{丨AF丨}$+$\frac{1}{丨BF丨}$=1，與$\frac{1}{|AF|}-\frac{1}{|BF|}$=$\frac{1}{2}$，求得丨AF丨，丨BF丨，丨AB丨=$\frac{2p}{si{n}^{2}α}$即可求得傾斜角θ．

解答 解：方法一：由題意可得直線AB的斜率k存在
設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），F(xiàn)（1，0）則可得直線AB的方程為y=k（x-1）
聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，整理可得k²x²-2（k²+2）x+k²=0
∴x₁+x₂=$\frac{2（{k}^{2}+2）}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1
∴x₂-x₁=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{4\sqrt{1+{k}^{2}}}{{k}^{2}}$，
∵$\frac{1}{|AF|}-\frac{1}{|BF|}$=$\frac{1}{{x}_{1}+1}$-$\frac{1}{{x}_{2}+1}$=$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}+（{x}_{1}+{x}_{2}）+1}$=$\frac{\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+{k}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴解得：k=$\sqrt{3}$或k=-$\sqrt{3}$，
∵0＜θ＜$\frac{π}{2}$，
∴k=$\sqrt{3}$，
∴θ=$\frac{π}{3}$，
故選B．
方法二：由拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì)，$\frac{1}{丨AF丨}$+$\frac{1}{丨BF丨}$=$\frac{p}{2}$=1，
由$\frac{1}{|AF|}-\frac{1}{|BF|}$=$\frac{1}{2}$，解得：丨AF丨=$\frac{4}{3}$，丨BF丨=4，
∴丨AB丨=丨AF丨+丨BF丨=$\frac{16}{3}$=$\frac{2p}{si{n}^{2}α}$=$\frac{4}{si{n}^{2}α}$，解得：sinα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵θ=$\frac{π}{3}$，
故選B．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的簡單幾何性質(zhì)的應(yīng)用，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查計算能力，屬于中檔題．