Question

在等差數(shù)列{a_n}中，a₁=3，前n項和S_n滿足條件

Sn+2

Sn

=

n+4

n

，n=1，2，3，…
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）記bn=

1

Sn

，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，求T_n．

Answer 1

分析：（1）由已知，令n=1，可求d，代入等差數(shù)列的通項公式即可求解
（2）由（Ⅰ）可求等差數(shù)列{a_n}的前n項和，代入利用裂項相消法即可求解

解答：解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
由

Sn+2

Sn

=

n+4

n

對一切正自然數(shù)n都成立可知，
當(dāng)n=1時，得：

S3

S1

=

3a1+3d

a1

=5，又a₁=3，所以d=2，
所以a_n=3+2（n-1）=2n+1．
（2）由（Ⅰ）知等差數(shù)列{a_n}的前n項和Sn=

n(3+2n+1)

2

=n（n+2）
∴bn=

1

Sn

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

)
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)
=

3

4

-

1

2

(

1

n+1

+

1

n+2

)

點評：本題主要考查了等差數(shù)列的求和公式、通項公式的應(yīng)用，裂項相消法求解數(shù)列的和方法的應(yīng)用是求解（2）的關(guān)鍵