已知f(x)=,a≠b,
求證：|f(a)-f(b)|＜|a-b|.
證明略
方法一 ∵f(a)=,f(b)= ,
∴原不等式化為|-|＜|a-b|.
∵|-|≥0，|a-b|≥0，
∴要證|-|＜|a-b|成立,
只需證（-）2＜(a-b)2.
即證1+a2+1+b2-2＜a2-2ab+b2,
即證2+a2+b2-2＜a2-2ab+b2.
只需證2+2ab＜2，
即證1+ab＜.
當(dāng)1+ab＜0時(shí)，∵＞0,
∴不等式1+ab＜成立.
從而原不等式成立.
當(dāng)1+ab≥0時(shí)，要證1+ab＜,
只需證(1+ab)2＜（）2,
即證1+2ab+a2b2＜1+a2+b2+a2b2,即證2ab＜a2+b2.
∵a≠b,∴不等式2ab＜a2+b2成立.∴原不等式成立.
方法二 ∵|f（a）-f（b）|=|-|
==，
又∵|a+b|≤|a|+|b|=+＜+，
∴＜1.
∵a≠b,∴|a-b|＞0.∴|f(a)-f(b)|＜|a-b|.
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