Question

12．（理）如圖，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱長(zhǎng)都等于2，∠ABC=∠A₁AC=60°，平面AA₁CC₁⊥平面ABCD．
（1）證明：BD⊥AA₁；
（2）求二面角D-AA₁-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出BD⊥AC，從而B(niǎo)D⊥平面AA₁CC₁，由此能證明BD⊥AA₁．
（2）令BD∩AC=O，連結(jié)A₁O，分別以BD，AC，OA₁所在的直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角D-AA₁-C的余弦值．

解答 證明：（1）由條件知四邊形ABCD是菱形，所以BD⊥AC，
而平面AA₁CC₁⊥平面ABCD，平面AA₁CC₁∩平面ABCD=AC，
所以BD⊥平面AA₁CC₁，
又AA₁?平面AA₁CC₁，
因此BD⊥AA₁．
解：（2）因?yàn)椤螦BC=60°，ABCD是菱形，所以AC=AB=AA₁，
而∠A₁AC=60°，所以△A₁AC是正三角形．令BD∩AC=O，
連結(jié)A₁O，則BD，AC，OA₁兩兩互相垂直．
如圖所示，分別以BD，AC，OA₁所在的直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則D（-$\sqrt{3}$，0，0），A（0，-1，0），A₁（0，0，$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{DA}$=（$\sqrt{3}，-1，0$），$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（$\sqrt{3}，0，\sqrt{3}$），
平面AA₁CC₁的法向量為$\overrightarrow{n}$=（1，0，0）．
設(shè)$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）是平面DAA₁的法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DA}=\sqrt{3}x-y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=\sqrt{3}x+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$．令x=1，則$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{3}$，-1）．
設(shè)二面角D-AA₁-C的平面角為θ，則θ是銳角，
故cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$
因此二面角D-AA₁-C的余弦值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．