Question

【題目】設(shè)橢圓的方程為（），點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)， 的坐標(biāo)分別為， ，點(diǎn)在線段上，滿足，直線的斜率為．

（1）求橢圓的方程；

（2）若斜率為的直線交橢圓于， 兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)（），問是否存在實(shí)數(shù)使得以為直徑的圓恒過點(diǎn)？若存在，求的值，若不存在，說出理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，由及直線的斜率為，即可求得，從而求出橢圓的方程；（2）設(shè)直線方程： ，聯(lián)立橢圓方程，消去，得關(guān)于的一元二次方程，設(shè)， ，結(jié)合韋達(dá)定理，可得與，假設(shè)存在實(shí)數(shù)使得以為直徑的圓恒過點(diǎn)，則，由，即可求出的值.

試題解析：（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)， ， ，

， ，

∴

∴橢圓的方程．

（2）設(shè)直線方程： ，代入，得，

設(shè)， ，則， ，

假設(shè)存在實(shí)數(shù)使得以為直徑的圓恒過點(diǎn)，則．

∴， ， ，

即，得，

整理得

∴（∵），當(dāng)時(shí)，符合題意