Question

已知函數(shù)f（x）對一切實(shí)數(shù)x，y都滿足f（x+y）=f（y）+（x+2y+1）x，且f（1）=0，
（1）求f（0）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）當(dāng)x∈[0，

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]時，f（x）+3＜2x+a恒成立，求a的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用賦值法，令x=1，y=0，可求得f（0）；
（2）令y=0，代入f（x）=f（0）+（x+1）x，即可判斷函數(shù)的解析式；
（3）f（x）+3＜2x+a，得a＞x²-x+1，構(gòu)造函數(shù)y=x²-x+1，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的在∈[0，

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]的最大值，即可求出a 的范圍，

解答： 解：（ 1）令x=1，y=0，則f（1）=f（0）+（1+1）×1，∴f（0）=f（1）-2=-2．
（2）令y=0，則f（x）=f（0）+（x+1）x，∴f（x）=x²+x-2．
（3）由f（x）+3＜2x+a，得a＞x²-x+1．設(shè)y=x²-x+1，則y=x²-x+1在（-∞，

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]上是減函數(shù)，所以y_max=1，
從而可得a＞1．

點(diǎn)評：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合，突出考查賦值法的應(yīng)用，考查推理與運(yùn)算能力，屬于中檔題．