Question

如圖，在幾何體ABCDE中，CA=CB=2，CA⊥CB，CD⊥平面ABC，F(xiàn)為線段AB的中點(diǎn)，EF∥CD，EF=CD=

2

．
（Ⅰ）求證：平面ABE⊥平面ADE．
（Ⅱ）求幾何體ABCDE的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,平面與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）證明平面ABE⊥平面ADE，只需證明DE⊥平面ABE，即證明CF⊥平面ABE，DE∥CF．
（Ⅱ）證明AB⊥平面EFCD，利用V_ABCDE=V_A-EFCD+V_B-EFCD，求幾何體ABCDE的體積．

解答： （Ⅰ）證明：∵CA=CB，F(xiàn)為線段AB的中點(diǎn)，
∴CF⊥AB，
∵CD⊥平面ABC，EF∥CD，
∴EF⊥平面ABC，
∵CF?平面ABC，
∴EF⊥CF，
∵EF∩AB=F，EF⊥CF，CF⊥AB
∴CF⊥平面ABE，
∵EF∥CD，EF=CD，
∴四邊形EFCD為平行四邊形，
∴DE∥CF，
∴DE⊥平面ABE，
∵DE?平面ADE，
∴平面ABE⊥平面ADE；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）CF⊥AB，
∵EF⊥平面ABC，
∴EF⊥AB，CF⊥AB，EF∩CF=F，
∴AB⊥平面EFCD，
∴V_ABCDE=V_A-EFCD+V_B-EFCD=

1

3

S_EFCD×AB=

1

3

×

2

×

2

×2

2

=

4 2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查考查線面垂直，考查幾何體的體積，解題的關(guān)鍵是正確線面垂直的判定方法，正確運(yùn)用體積公式．